微分積分学準備例

$\log (8 - x) > 2 \log (x + 4)$

ステップ 1

不等式を等式に変換します。

$\log (8 - x) = 2 \log (x + 4)$

ステップ 2

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \log (x + 4)$ を簡約します。

$\log (8 - x) = \log ({(x + 4)}^{2})$

ステップ 2.2

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$8 - x = {(x + 4)}^{2}$

ステップ 2.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

${(x + 4)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$8 - x = 0 + 0 + {(x + 4)}^{2}$

ステップ 2.3.1.2

${(x + 4)}^{2}$ を $(x + 4) (x + 4)$ に書き換えます。

$8 - x = (x + 4) (x + 4)$

ステップ 2.3.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 4) (x + 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

分配則を当てはめます。

$8 - x = x (x + 4) + 4 (x + 4)$

ステップ 2.3.1.3.2

分配則を当てはめます。

$8 - x = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)$

ステップ 2.3.1.3.3

分配則を当てはめます。

$8 - x = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

ステップ 2.3.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$8 - x = x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

ステップ 2.3.1.4.1.2

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$8 - x = x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4$

ステップ 2.3.1.4.1.3

$4$ に $4$ をかけます。

$8 - x = x^{2} + 4 x + 4 x + 16$

ステップ 2.3.1.4.2

$4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$8 - x = x^{2} + 8 x + 16$

ステップ 2.3.2

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x^{2} + 8 x + 16 = 8 - x$

ステップ 2.3.3

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

方程式の両辺に $x$ を足します。

$x^{2} + 8 x + 16 + x = 8$

ステップ 2.3.3.2

$8 x$ と $x$ をたし算します。

$x^{2} + 9 x + 16 = 8$

ステップ 2.3.4

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x^{2} + 9 x + 16 - 8 = 0$

ステップ 2.3.5

$16$ から $8$ を引きます。

$x^{2} + 9 x + 8 = 0$

ステップ 2.3.6

たすき掛けを利用して $x^{2} + 9 x + 8$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $8$ で、その和が $9$ です。

$1, 8$

ステップ 2.3.6.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 1) (x + 8) = 0$

ステップ 2.3.7

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x + 8 = 0$

ステップ 2.3.8

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3.8.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.3.9

$x + 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.9.1

$x + 8$ が $0$ に等しいとします。

$x + 8 = 0$

ステップ 2.3.9.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x = - 8$

ステップ 2.3.10

最終解は $(x + 1) (x + 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, - 8$

ステップ 3

$\log (\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}})$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.1

$\log (\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}})$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}} > 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$8 - x = 0$

${(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$- x = - 8$

ステップ 3.2.3

$- x = - 8$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$- x = - 8$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 3.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 3.2.3.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 3.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.3.1

$- 8$ を $- 1$ で割ります。

$x = 8$

ステップ 3.2.4

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 3.2.5

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 3.2.6

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 8$

$x = - 4$

ステップ 3.2.7

解をまとめます。

$x = 8, - 4$

ステップ 3.2.8

$\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.1

$\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 3.2.8.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.2.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 3.2.8.2.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 3.2.8.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

ステップ 3.2.9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 4$

$- 4 < x < 8$

$x > 8$

ステップ 3.2.10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.10.1

区間 $x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.10.1.1

区間 $x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 3.2.10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{8 - (- 6)}{{((- 6) + 4)}^{2}} > 0$

ステップ 3.2.10.1.3

左辺 $3.5$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 3.2.10.2

区間 $- 4 < x < 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.10.2.1

区間 $- 4 < x < 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 3.2.10.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{8 - (0)}{{((0) + 4)}^{2}} > 0$

ステップ 3.2.10.2.3

左辺 $0.5$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 3.2.10.3

区間 $x > 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.10.3.1

区間 $x > 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 10$

ステップ 3.2.10.3.2

$x$ を元の不等式の $10$ で置き換えます。

$\frac{8 - (10)}{{((10) + 4)}^{2}} > 0$

ステップ 3.2.10.3.3

左辺 $- 0.01020408$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 3.2.10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 4$ 真

$- 4 < x < 8$ 真

$x > 8$ 偽

$x < - 4$ 真

$- 4 < x < 8$ 真

$x > 8$ 偽

ステップ 3.2.11

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 4$ または $- 4 < x < 8$

ステップ 3.3

$\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 3.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 3.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 8)$

ステップ 4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$- 1 < x < 8$

$x > 8$

ステップ 5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

区間 $x < - 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

区間 $x < - 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 10$

ステップ 5.1.2

$x$ を元の不等式の $- 10$ で置き換えます。

$\log (8 - (- 10)) > 2 \log ((- 10) + 4)$

ステップ 5.1.3

不等式が真か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.1.3.2

The right side has no solution, which means that the given statement is false.

False

ステップ 5.2

区間 $- 8 < x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

区間 $- 8 < x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 5.2.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\log (8 - (- 6)) > 2 \log ((- 6) + 4)$

ステップ 5.2.3

不等式が真か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.2.3.2

The right side has no solution, which means that the given statement is false.

False

ステップ 5.3

区間 $- 4 < x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

区間 $- 4 < x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 5.3.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\log (8 - (- 2)) > 2 \log ((- 2) + 4)$

ステップ 5.3.3

左辺 $1$ は右辺 $0.60205999$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 5.4

区間 $- 1 < x < 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

区間 $- 1 < x < 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\log (8 - (0)) > 2 \log ((0) + 4)$

ステップ 5.4.3

左辺 $0.90308998$ は右辺 $1.20411998$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 5.5

区間 $x > 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

区間 $x > 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 10$

ステップ 5.5.2

$x$ を元の不等式の $10$ で置き換えます。

$\log (8 - (10)) > 2 \log ((10) + 4)$

ステップ 5.5.3

不等式が真か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.5.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 5.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 8$ 偽

$- 8 < x < - 4$ 偽

$- 4 < x < - 1$ 真

$- 1 < x < 8$ 偽

$x > 8$ 偽

$x < - 8$ 偽

$- 8 < x < - 4$ 偽

$- 4 < x < - 1$ 真

$- 1 < x < 8$ 偽

$x > 8$ 偽

ステップ 6

解はすべての真の区間からなります。

$- 4 < x < - 1$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- 4 < x < - 1$

区間記号：

$(- 4, - 1)$

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例