微分積分学準備例

$12 x^{3} - x^{4} < 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$12 x^{3} - x^{4} = 0$

ステップ 2

$x^{3}$ を $12 x^{3} - x^{4}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{3}$ を $12 x^{3}$ で因数分解します。

$x^{3} \cdot 12 - x^{4} = 0$

ステップ 2.2

$x^{3}$ を $- x^{4}$ で因数分解します。

$x^{3} \cdot 12 + x^{3} (- x) = 0$

ステップ 2.3

$x^{3}$ を $x^{3} \cdot 12 + x^{3} (- x)$ で因数分解します。

$x^{3} (12 - x) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{3} = 0$

$12 - x = 0$

ステップ 4

$x^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x^{3}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 5

$12 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$12 - x$ が $0$ に等しいとします。

$12 - x = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $12 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$- x = - 12$

ステップ 5.2.2

$- x = - 12$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- x = - 12$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 12}{- 1}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 12}{- 1}$

ステップ 5.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 12}{- 1}$

ステップ 5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.3.1

$- 12$ を $- 1$ で割ります。

$x = 12$

ステップ 6

最終解は $x^{3} (12 - x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 12$

ステップ 7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 12$

$x > 12$

ステップ 8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$12 {(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{4} < 0$

ステップ 8.1.3

左辺 $- 112$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.2

区間 $0 < x < 12$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.2.1

区間 $0 < x < 12$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 8.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$12 {(2)}^{3} - {(2)}^{4} < 0$

ステップ 8.2.3

左辺 $80$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.3

区間 $x > 12$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.3.1

区間 $x > 12$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 14$

ステップ 8.3.2

$x$ を元の不等式の $14$ で置き換えます。

$12 {(14)}^{3} - {(14)}^{4} < 0$

ステップ 8.3.3

左辺 $- 5488$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 真

$0 < x < 12$ 偽

$x > 12$ 真

$x < 0$ 真

$0 < x < 12$ 偽

$x > 12$ 真

ステップ 9

解はすべての真の区間からなります。

$x < 0$ または $x > 12$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < 0 or x > 12$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (12, \infty)$

ステップ 11

微分積分学準備 例

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