微分積分学準備例

$1 = \frac{6 x^{2}}{x^{4} + 9}$

ステップ 1

方程式を $\frac{6 x^{2}}{x^{4} + 9} = 1$ として書き換えます。

$\frac{6 x^{2}}{x^{4} + 9} = 1$

ステップ 2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{4} + 9, 1$

ステップ 2.2

括弧を削除します。

$x^{4} + 9, 1$

ステップ 2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{4} + 9$

ステップ 3

$\frac{6 x^{2}}{x^{4} + 9} = 1$ の各項に $x^{4} + 9$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.1

$\frac{6 x^{2}}{x^{4} + 9} = 1$ の各項に $x^{4} + 9$ を掛けます。

$\frac{6 x^{2}}{x^{4} + 9} (x^{4} + 9) = 1 (x^{4} + 9)$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$x^{4} + 9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x^{2}}{x^{4} + 9} (x^{4} + 9) = 1 (x^{4} + 9)$

ステップ 3.2.1.2

式を書き換えます。

$6 x^{2} = 1 (x^{4} + 9)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$x^{4} + 9$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} = x^{4} + 9$

ステップ 4

方程式を解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $x^{4}$ を引きます。

$6 x^{2} - x^{4} = 9$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$6 x^{2} - x^{4} - 9 = 0$

ステップ 4.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ を $6 x^{2} - x^{4} - 9$ で因数分解します。

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ステップ 4.3.1.1

$6 x^{2}$ と $- x^{4}$ を並べ替えます。

$- x^{4} + 6 x^{2} - 9 = 0$

ステップ 4.3.1.2

$- 1$ を $- x^{4}$ で因数分解します。

$- (x^{4}) + 6 x^{2} - 9 = 0$

ステップ 4.3.1.3

$- 1$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{4}) - (- 6 x^{2}) - 9 = 0$

ステップ 4.3.1.4

$- 9$ を $- 1 (9)$ に書き換えます。

$- (x^{4}) - (- 6 x^{2}) - 1 \cdot 9 = 0$

ステップ 4.3.1.5

$- 1$ を $- (x^{4}) - (- 6 x^{2})$ で因数分解します。

$- (x^{4} - 6 x^{2}) - 1 \cdot 9 = 0$

ステップ 4.3.1.6

$- 1$ を $- (x^{4} - 6 x^{2}) - 1 (9)$ で因数分解します。

$- (x^{4} - 6 x^{2} + 9) = 0$

ステップ 4.3.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- ({(x^{2})}^{2} - 6 x^{2} + 9) = 0$

ステップ 4.3.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- (u^{2} - 6 u + 9) = 0$

ステップ 4.3.4

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 4.3.4.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$- (u^{2} - 6 u + 3^{2}) = 0$

ステップ 4.3.4.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

ステップ 4.3.4.3

多項式を書き換えます。

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

ステップ 4.3.4.4

$a = u$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- {(u - 3)}^{2} = 0$

ステップ 4.3.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- {(x^{2} - 3)}^{2} = 0$

ステップ 4.4

$- {(x^{2} - 3)}^{2} = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.4.1

$- {(x^{2} - 3)}^{2} = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- {(x^{2} - 3)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{{(x^{2} - 3)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.4.2.2

${(x^{2} - 3)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x^{2} - 3)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.4.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

${(x^{2} - 3)}^{2} = 0$

ステップ 4.5

$x^{2} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 3 = 0$

ステップ 4.6

$x$ について解きます。

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ステップ 4.6.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x^{2} = 3$

ステップ 4.6.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{3}$

ステップ 4.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.6.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{3}$

ステップ 4.6.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{3}$

ステップ 4.6.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

10進法形式：

$x = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots$

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