微分積分学準備例

$x^{2} e^{x} - 3 e^{x} < 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} e^{x} - 3 e^{x} = 0$

ステップ 2

$e^{x}$ を $x^{2} e^{x} - 3 e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$e^{x}$ を $x^{2} e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x^{2} - 3 e^{x} = 0$

ステップ 2.2

$e^{x}$ を $- 3 e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 3 = 0$

ステップ 2.3

$e^{x}$ を $e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 3$ で因数分解します。

$e^{x} (x^{2} - 3) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

ステップ 4

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 4.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 5

$x^{2} - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x^{2} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 3 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $x^{2} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x^{2} = 3$

ステップ 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

ステップ 5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{3}$

ステップ 5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{3}$

ステップ 5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 6

最終解は $e^{x} (x^{2} - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \sqrt{3}$

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

$x > \sqrt{3}$

ステップ 8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.1

区間 $x < - \sqrt{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.1.1

区間 $x < - \sqrt{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

${(- 4)}^{2} e^{- 4} - 3 e^{- 4} < 0$

ステップ 8.1.3

左辺 $0.2381033$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.2

区間 $- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.2.1

区間 $- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} e^{0} - 3 e^{0} < 0$

ステップ 8.2.3

左辺 $- 3$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.3

区間 $x > \sqrt{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.3.1

区間 $x > \sqrt{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 8.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

${(4)}^{2} e^{4} - 3 e^{4} < 0$

ステップ 8.3.3

左辺 $709.77595043$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \sqrt{3}$ 偽

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ 真

$x > \sqrt{3}$ 偽

$x < - \sqrt{3}$ 偽

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ 真

$x > \sqrt{3}$ 偽

ステップ 9

解はすべての真の区間からなります。

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

区間記号：

$(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

ステップ 11

微分積分学準備 例

微分積分学準備例