微分積分学準備例

$\cos (\frac{5 π}{24})$

ステップ 1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{5 π}{24}$ を書き直します。

$\cos (\frac{\frac{5 π}{12}}{2})$

ステップ 2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{12})}{2}}$

ステップ 3

余弦が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{12})}{2}}$

ステップ 4

加法減法定理を利用して $\cos (\frac{5 π}{12})$ の厳密値を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{5 π}{12}$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})}{2}}$

ステップ 4.2

角の和の公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ を当てはめます。

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}{2}}$

ステップ 4.3

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}{2}}$

ステップ 4.4

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}{2}}$

ステップ 4.5

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})}{2}}$

ステップ 4.6

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

ステップ 4.7

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.7.1.1

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.7.1.1.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

ステップ 4.7.1.1.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

ステップ 4.7.1.1.3

$3$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

ステップ 4.7.1.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

ステップ 4.7.1.2

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.7.1.2.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{2}}$

ステップ 4.7.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{2}}$

ステップ 4.7.2

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}}$

ステップ 5

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{\frac{\frac{4}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}}$

ステップ 5.2

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}}$

ステップ 5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}}$

ステップ 5.4

$\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.4.1

$\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2}}$

ステップ 5.4.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}}$

ステップ 5.5

$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}}$ を $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$

ステップ 5.6

分母を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 5.6.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{4 (2)}}$

ステップ 5.6.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.6.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 5.7

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 5.8

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.8.1

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 5.8.2

$\sqrt{2}$ を移動させます。

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

ステップ 5.8.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

ステップ 5.8.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

ステップ 5.8.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.8.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 5.8.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 5.8.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.8.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.8.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.8.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.8.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.8.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

ステップ 5.8.7.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.9

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.10

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$

10進法形式：

$0.79335334 \dots$

微分積分学準備 例

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