微分積分学準備例

$\sin (255) - \sin (- 15)$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

$\sin (255)$ の厳密値は $- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ です。

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ステップ 1.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- \sin (75) - \sin (- 15)$

ステップ 1.1.2

$75$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

$- \sin (30 + 45) - \sin (- 15)$

ステップ 1.1.3

角の和の公式を当てはめます。

$- (\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) - \sin (- 15)$

ステップ 1.1.4

$\sin (30)$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$- (\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) - \sin (- 15)$

ステップ 1.1.5

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)) - \sin (- 15)$

ステップ 1.1.6

$\cos (30)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)) - \sin (- 15)$

ステップ 1.1.7

$\sin (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - \sin (- 15)$

ステップ 1.1.8

$- (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ を簡約します。

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ステップ 1.1.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.8.1.1

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.8.1.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$- (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - \sin (- 15)$

ステップ 1.1.8.1.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - \sin (- 15)$

ステップ 1.1.8.1.2

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.8.1.2.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$- (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) - \sin (- 15)$

ステップ 1.1.8.1.2.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$- (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) - \sin (- 15)$

ステップ 1.1.8.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$- (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) - \sin (- 15)$

ステップ 1.1.8.1.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$- (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) - \sin (- 15)$

ステップ 1.1.8.2

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - \sin (- 15)$

ステップ 1.2

$\sin (- 15)$ の厳密値は $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ です。

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ステップ 1.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - \sin (15)$

ステップ 1.2.2

$15$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - \sin (45 - 30)$

ステップ 1.2.3

否定を分割します。

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - \sin (45 - (30))$

ステップ 1.2.4

角の差の公式を当てはめます。

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

ステップ 1.2.5

$\sin (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

ステップ 1.2.6

$\cos (30)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

ステップ 1.2.7

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

ステップ 1.2.8

$\sin (30)$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 1.2.9

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ を簡約します。

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ステップ 1.2.9.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.9.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.9.1.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 1.2.9.1.1.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 1.2.9.1.1.3

$2$ に $3$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 1.2.9.1.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 1.2.9.1.2

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.9.1.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

ステップ 1.2.9.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

ステップ 1.2.9.2

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

ステップ 1.3

$- - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + 1 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

ステップ 1.3.2

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- (\sqrt{2} + \sqrt{6}) + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

ステップ 2.3

$- \sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$\frac{- 2 \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{6}}{4}$

ステップ 2.4

$- \sqrt{6}$ と $\sqrt{6}$ をたし算します。

$\frac{- 2 \sqrt{2} + 0}{4}$

ステップ 2.5

$- 2 \sqrt{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 2.6

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

$2$ を $- 2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{4}$

ステップ 2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (2)}$

ステップ 2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

10進法形式：

$- 0.70710678 \dots$

微分積分学準備 例

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