微分積分学準備例

$\sin (\arctan (\frac{x}{2}))$

ステップ 1

交点 $(1, \frac{x}{2})$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arctan (\frac{x}{2})$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, \frac{x}{2})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (\arctan (\frac{x}{2}))$ は $\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ です。

$\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

ステップ 2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

ステップ 3

分数をまとめます。

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ステップ 3.1

まとめる。

$\frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

ステップ 3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{2 \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $\frac{x}{2}$ に当てはめます。

$\frac{x}{2 \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}}$

ステップ 4.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{x}{2 \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}}}$

ステップ 4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}}$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}}}$

ステップ 4.5

$\frac{4 + x^{2}}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ に書き換えます。

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ステップ 4.5.1

$4 + x^{2}$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}}}$

ステップ 4.5.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}}$

ステップ 4.5.3

分数 $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})}}$

ステップ 4.6

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{x}{2 (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}})}$

ステップ 4.7

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{4 + x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{x}{2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}}$

ステップ 5

$2$ と $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x}{\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{2}}$

ステップ 6

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 6.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ を約分します。

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ステップ 6.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x}{\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{2}}$

ステップ 6.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x}{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{1}}$

ステップ 6.2

$\sqrt{4 + x^{2}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{x}{\sqrt{4 + x^{2}}}$

ステップ 7

$\frac{x}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{x}{\sqrt{4 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$

ステップ 8

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{x}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}} \sqrt{4 + x^{2}}}$

ステップ 8.2

$\sqrt{4 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1} \sqrt{4 + x^{2}}}$

ステップ 8.3

$\sqrt{4 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{4 + x^{2}}}^{1}}$

ステップ 8.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

ステップ 8.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{2}}$

ステップ 8.6

${\sqrt{4 + x^{2}}}^{2}$ を $4 + x^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 8.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 + x^{2}}$ を ${(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{({(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 8.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{1}}$

ステップ 8.6.5

簡約します。

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{4 + x^{2}}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例