微分積分学準備例

$\frac{2 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} + \frac{2}{3} x^{3} {(1 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

$x$ を $2 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} + \frac{2}{3} \cdot x^{3} {(1 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x$ を $2 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{2}{3} \cdot x^{3} {(1 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.2

$x$ を $\frac{2}{3} \cdot x^{3} {(1 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}) + x (\frac{2}{3} \cdot x^{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}) + x (\frac{2}{3} \cdot x^{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}})$ で因数分解します。

$\frac{x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} + \frac{2}{3} \cdot x^{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.2

$\frac{2}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} + \frac{2 x^{2}}{3} {(1 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} + \frac{2 x^{2}}{3} \cdot \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.4

まとめる。

$\frac{x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} + \frac{2 x^{2} \cdot 1}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} + \frac{2 x^{2}}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.6

$2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ を掛けます。

$\frac{x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{2}}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.7

$2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{x (\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}})}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{2}}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}) + 2 x^{2}}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.9

項を並べ替えます。

$\frac{x \frac{2 x^{2} + 2 \cdot 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.10

因数分解した形で $\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ を書き換えます。

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ステップ 1.10.1

$2$ を $2 x^{2} + 2 \cdot 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

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ステップ 1.10.1.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \frac{2 (x^{2}) + 2 \cdot 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.10.1.2

$2$ を $2 \cdot 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{x \frac{2 (x^{2}) + 2 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.10.1.3

$2$ を $2 (x^{2}) + 2 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})$ で因数分解します。

$\frac{x \frac{2 (x^{2} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.10.2

指数を足して ${(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$ に ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 1.10.2.1

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ を移動させます。

$\frac{x \frac{2 (x^{2} + 3 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}))}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.10.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x \frac{2 (x^{2} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}})}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.10.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x \frac{2 (x^{2} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{3}})}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.10.2.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x \frac{2 (x^{2} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{3}})}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.10.2.5

$3$ を $3$ で割ります。

$\frac{x \frac{2 (x^{2} + 3 {(1 - x^{2})}^{1})}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.10.3

$3 {(1 - x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$\frac{x \frac{2 (x^{2} + 3 (1 - x^{2}))}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.10.4

分配則を当てはめます。

$\frac{x \frac{2 (x^{2} + 3 \cdot 1 + 3 (- x^{2}))}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.10.5

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{x \frac{2 (x^{2} + 3 + 3 (- x^{2}))}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.10.6

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{x \frac{2 (x^{2} + 3 - 3 x^{2})}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.10.7

$x^{2}$ から $3 x^{2}$ を引きます。

$\frac{x \frac{2 (- 2 x^{2} + 3)}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2

$x$ と $\frac{2 (- 2 x^{2} + 3)}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x (2 (- 2 x^{2} + 3))}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{2 x (- 2 x^{2} + 3)}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2 x (- 2 x^{2} + 3)}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5

まとめる。

$\frac{2 x (- 2 x^{2} + 3) \cdot 1}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 6

指数を足して ${(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$ に ${(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

${(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$\frac{2 x (- 2 x^{2} + 3) \cdot 1}{3 ({(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x (- 2 x^{2} + 3) \cdot 1}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

ステップ 6.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x (- 2 x^{2} + 3) \cdot 1}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

ステップ 6.4

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x (- 2 x^{2} + 3) \cdot 1}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 7

$2 x (- 2 x^{2} + 3)$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x (- 2 x^{2} + 3)}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 8

$- 1$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- (2 x^{2}) + 3)}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 9

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$\frac{2 x (- (2 x^{2}) - 1 (- 3))}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 10

$- 1$ を $- (2 x^{2}) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- (2 x^{2} - 3))}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 11

式を簡約します。

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ステップ 11.1

$- (2 x^{2} - 3)$ を $- 1 (2 x^{2} - 3)$ に書き換えます。

$\frac{2 x (- 1 (2 x^{2} - 3))}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 11.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(2 x) (2 x^{2} - 3)}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 11.3

$- \frac{(2 x) (2 x^{2} - 3)}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{2 x (2 x^{2} - 3)}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}}}$

微分積分学準備 例

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