微分積分学準備例

$\sin (\frac{11 π}{12}) - \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

$\sin (\frac{11 π}{12})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ です。

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ステップ 1.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\sin (\frac{π}{12}) - \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 1.1.2

$\frac{π}{12}$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

$\sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 1.1.3

角の差の公式を当てはめます。

$\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 1.1.4

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 1.1.5

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 1.1.6

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 1.1.7

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 1.1.8

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.1.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.8.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.8.1.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 1.1.8.1.1.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 1.1.8.1.1.3

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 1.1.8.1.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 1.1.8.1.2

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.8.1.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 1.1.8.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} - \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 1.1.8.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 1.2

$\sin (\frac{7 π}{12})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ です。

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ステップ 1.2.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{7 π}{12}$ を書き直します。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

ステップ 1.2.2

制限半角の公式を当てはめます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

ステップ 1.2.3

正弦が第二象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

ステップ 1.2.4

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

ステップ 1.2.4.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

ステップ 1.2.4.3

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

ステップ 1.2.4.3.2

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

ステップ 1.2.4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

ステップ 1.2.4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}$

ステップ 1.2.4.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.4.7

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.4.7.1

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.4.7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

ステップ 1.2.4.8

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

ステップ 1.2.4.9

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.4.9.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 1.2.4.9.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

ステップ 2

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.1

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot 2}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot 2}{4}$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot 2}{4}$

ステップ 5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{4}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{4}$

10進法形式：

$- 0.70710678 \dots$

微分積分学準備 例

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