微分積分学準備例

$8 - \frac{x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$8 - \frac{x^{3}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

ステップ 1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 1.3

多項式を書き換えます。

$8 - \frac{x^{3}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

ステップ 1.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$8 - \frac{x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2

$8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{8 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 {(x - 2)}^{2} - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

${(x - 2)}^{2}$ を $(x - 2) (x - 2)$ に書き換えます。

$\frac{8 ((x - 2) (x - 2)) - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 4.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{8 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{8 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{8 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{8 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{8 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{8 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{8 (x^{2} - 4 x + 4) - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.4

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x^{2} + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 4 - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

$- 4$ に $8$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} - 32 x + 8 \cdot 4 - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.5.2

$8$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} - 32 x + 32 - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.6

項を並べ替えます。

$\frac{- x^{3} + 8 x^{2} - 32 x + 32}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 5

くくりだして簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{3}) + 8 x^{2} - 32 x + 32}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 5.2

$- 1$ を $8 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{3}) - (- 8 x^{2}) - 32 x + 32}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 5.3

$- 1$ を $- (x^{3}) - (- 8 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{3} - 8 x^{2}) - 32 x + 32}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 5.4

$- 1$ を $- 32 x$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{3} - 8 x^{2}) - (32 x) + 32}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 5.5

$- 1$ を $- (x^{3} - 8 x^{2}) - (32 x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{3} - 8 x^{2} + 32 x) + 32}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 5.6

$32$ を $- 1 (- 32)$ に書き換えます。

$\frac{- (x^{3} - 8 x^{2} + 32 x) - 1 (- 32)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 5.7

$- 1$ を $- (x^{3} - 8 x^{2} + 32 x) - 1 (- 32)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 32)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 5.8

式を簡約します。

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ステップ 5.8.1

$- (x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 32)$ を $- 1 (x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 32)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 32)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 5.8.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 32}{{(x - 2)}^{2}}$

微分積分学準備 例

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