微分積分学準備例

$\frac{8 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) + 3}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

$u = \sin (x)$ とします。 $u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$\frac{8 u^{2} + 10 u + 3}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

ステップ 1.2

群による因数分解。

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ステップ 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ で和が $b = 10$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.2.1.1

$10$ を $10 u$ で因数分解します。

$\frac{8 u^{2} + 10 (u) + 3}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

ステップ 1.2.1.2

$10$ を $4$ プラス $6$ に書き換える

$\frac{8 u^{2} + (4 + 6) u + 3}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

ステップ 1.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{8 u^{2} + 4 u + 6 u + 3}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

ステップ 1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(8 u^{2} + 4 u) + 6 u + 3}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

ステップ 1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{4 u (2 u + 1) + 3 (2 u + 1)}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

ステップ 1.2.3

最大公約数 $2 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(2 u + 1) (4 u + 3)}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

$u = \sin (x)$ とします。 $u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{2 u^{2} + 3 u + 1}$

ステップ 2.2

群による因数分解。

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ステップ 2.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ で和が $b = 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$3$ を $3 u$ で因数分解します。

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{2 u^{2} + 3 (u) + 1}$

ステップ 2.2.1.2

$3$ を $1$ プラス $2$ に書き換える

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{2 u^{2} + (1 + 2) u + 1}$

ステップ 2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{2 u^{2} + 1 u + 2 u + 1}$

ステップ 2.2.1.4

$u$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{2 u^{2} + u + 2 u + 1}$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{(2 u^{2} + u) + 2 u + 1}$

ステップ 2.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{u (2 u + 1) + 1 (2 u + 1)}$

ステップ 2.2.3

最大公約数 $2 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{(2 u + 1) (u + 1)}$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{(2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}$

ステップ 3

$2 \sin (x) + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1

共通因数を約分します。

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{(2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}$

ステップ 3.2

式を書き換えます。

$\frac{4 \sin (x) + 3}{\sin (x) + 1}$

微分積分学準備 例

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