微分積分学準備例

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$

ステップ 1

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1}$ を掛けます。

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$

ステップ 2

$\frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ を掛けます。

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

ステップ 3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\sin (t) (\cos (t) + 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.1

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)}$ に $\frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1}$ をかけます。

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

ステップ 3.2

$\frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$ に $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ をかけます。

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{(\cos (t) + 1) \sin (t)}$

ステップ 3.3

$(\cos (t) + 1) \sin (t)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5

分子を簡約します。

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ステップ 5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)$ を展開します。

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ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (t) (\cos (t) + 1) - 1 (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5.2

$\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.1

$\cos (t) \cdot 1$ と $- 1 \cos (t)$ について因数を並べ替えます。

$\frac{\cos (t) \cos (t) + 1 \cos (t) - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5.2.2

$1 \cos (t)$ から $1 \cos (t)$ を引きます。

$\frac{\cos (t) \cos (t) + 0 - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5.2.3

$\cos (t) \cos (t)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\cos (t) \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$\cos (t) \cos (t)$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1.1

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{1} (t) \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5.3.1.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5.3.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\cos (t)}^{1 + 1} - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5.3.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos^{2} (t) - 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5.4

$\cos^{2} (t)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{- 1 + \cos^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5.6

$- 1$ を $\cos^{2} (t)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5.7

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (t))$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5.8

$- 1 (1 - \cos^{2} (t))$ を $- (1 - \cos^{2} (t))$ に書き換えます。

$\frac{- (1 - \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5.9

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5.10

$\sin (t) \sin (t)$ を掛けます。

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ステップ 5.10.1

$\sin (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5.10.2

$\sin (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5.10.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- \sin^{2} (t) + {\sin (t)}^{1 + 1}}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5.10.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{2} (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 5.11

$- \sin^{2} (t)$ と $\sin^{2} (t)$ をたし算します。

$\frac{0}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

ステップ 6

分数を分解します。

$\frac{0}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{1}{\sin (t)}$

ステップ 7

$\frac{1}{\sin (t)}$ を $\csc (t)$ に変換します。

$\frac{0}{\cos (t) + 1} \csc (t)$

ステップ 8

$0$ を $\cos (t) + 1$ で割ります。

$0 \csc (t)$

ステップ 9

$0$ に $\csc (t)$ をかけます。

$0$

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