微分積分学準備例

$\frac{9 x + 2}{3 x^{2} - 2 x - 8} + \frac{7}{3 x^{2} + x - 4}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

群による因数分解。

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ステップ 1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ で和が $b = - 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.1.1.1

$- 2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{9 x + 2}{3 x^{2} - 2 (x) - 8} + \frac{7}{3 x^{2} + x - 4}$

ステップ 1.1.1.2

$- 2$ を $4$ プラス $- 6$ に書き換える

$\frac{9 x + 2}{3 x^{2} + (4 - 6) x - 8} + \frac{7}{3 x^{2} + x - 4}$

ステップ 1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{9 x + 2}{3 x^{2} + 4 x - 6 x - 8} + \frac{7}{3 x^{2} + x - 4}$

ステップ 1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{9 x + 2}{(3 x^{2} + 4 x) - 6 x - 8} + \frac{7}{3 x^{2} + x - 4}$

ステップ 1.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{9 x + 2}{x (3 x + 4) - 2 (3 x + 4)} + \frac{7}{3 x^{2} + x - 4}$

ステップ 1.1.3

最大公約数 $3 x + 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} + \frac{7}{3 x^{2} + x - 4}$

ステップ 1.2

群による因数分解。

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ステップ 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.2.1.1

$1$ を掛けます。

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} + \frac{7}{3 x^{2} + 1 x - 4}$

ステップ 1.2.1.2

$1$ を $- 3$ プラス $4$ に書き換える

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} + \frac{7}{3 x^{2} + (- 3 + 4) x - 4}$

ステップ 1.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} + \frac{7}{3 x^{2} - 3 x + 4 x - 4}$

ステップ 1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} + \frac{7}{(3 x^{2} - 3 x) + 4 x - 4}$

ステップ 1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} + \frac{7}{3 x (x - 1) + 4 (x - 1)}$

ステップ 1.2.3

最大公約数 $x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} + \frac{7}{(x - 1) (3 x + 4)}$

ステップ 2

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{7}{(x - 1) (3 x + 4)}$

ステップ 3

$\frac{7}{(x - 1) (3 x + 4)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 2}{x - 2}$ を掛けます。

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{7}{(x - 1) (3 x + 4)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(3 x + 4) (x - 2) (x - 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{(9 x + 2) (x - 1)}{(3 x + 4) (x - 2) (x - 1)} + \frac{7}{(x - 1) (3 x + 4)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

ステップ 4.2

$\frac{7}{(x - 1) (3 x + 4)}$ に $\frac{x - 2}{x - 2}$ をかけます。

$\frac{(9 x + 2) (x - 1)}{(3 x + 4) (x - 2) (x - 1)} + \frac{7 (x - 2)}{(x - 1) (3 x + 4) (x - 2)}$

ステップ 4.3

$(3 x + 4) (x - 2) (x - 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(9 x + 2) (x - 1)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)} + \frac{7 (x - 2)}{(x - 1) (3 x + 4) (x - 2)}$

ステップ 4.4

$(x - 1) (3 x + 4) (x - 2)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(9 x + 2) (x - 1)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)} + \frac{7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(9 x + 2) (x - 1) + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(9 x + 2) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{9 x (x - 1) + 2 (x - 1) + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{9 x \cdot x + 9 x \cdot - 1 + 2 (x - 1) + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{9 x \cdot x + 9 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{9 (x \cdot x) + 9 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.2.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{9 x^{2} + 9 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{9 x^{2} - 9 x + 2 x + 2 \cdot - 1 + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.2.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{9 x^{2} - 9 x + 2 x - 2 + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.2.2

$- 9 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{9 x^{2} - 7 x - 2 + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{9 x^{2} - 7 x - 2 + 7 x + 7 \cdot - 2}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.4

$7$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{9 x^{2} - 7 x - 2 + 7 x - 14}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.5

$- 7 x$ と $7 x$ をたし算します。

$\frac{9 x^{2} + 0 - 2 - 14}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.6

$9 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{9 x^{2} - 2 - 14}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.7

$- 2$ から $14$ を引きます。

$\frac{9 x^{2} - 16}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.8

因数分解した形で $9 x^{2} - 16$ を書き換えます。

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ステップ 6.8.1

$9 x^{2}$ を ${(3 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(3 x)}^{2} - 16}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.8.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(3 x)}^{2} - 4^{2}}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 6.8.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3 x$ であり、 $b = 4$ です。

$\frac{(3 x + 4) (3 x - 4)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 7

$3 x + 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

共通因数を約分します。

$\frac{(3 x + 4) (3 x - 4)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

ステップ 7.2

式を書き換えます。

$\frac{3 x - 4}{(x - 1) (x - 2)}$

微分積分学準備 例

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