微分積分学準備例

$\frac{3 x + 1}{2 x^{2} - 2} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

ステップ 1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$2$ を $2 x^{2} - 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{2}) - 2} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

ステップ 1.1.1.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{2}) + 2 (- 1)} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

ステップ 1.1.1.3

$2$ を $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{2} - 1)} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

ステップ 1.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{2} - 1^{2})} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

ステップ 1.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

ステップ 1.2

$2 x + 2$ と $2 x^{2} - 8 x + 6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x) + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

ステップ 1.2.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x) + 2 \cdot 1}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

ステップ 1.2.3

$2$ を $2 (x) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

ステップ 1.2.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2}) - 8 x + 6}$

ステップ 1.2.4.2

$2$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) + 6}$

ステップ 1.2.4.3

$2$ を $2 (x^{2}) + 2 (- 4 x)$ で因数分解します。

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2} - 4 x) + 6}$

ステップ 1.2.4.4

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.4.5

$2$ を $2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2} - 4 x + 3)}$

ステップ 1.2.4.6

共通因数を約分します。

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2} - 4 x + 3)}$

ステップ 1.2.4.7

式を書き換えます。

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{x^{2} - 4 x + 3}$

ステップ 1.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - 4 x + 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $- 4$ です。

$- 3, - 1$

ステップ 1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)}$

ステップ 2

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 3}{x - 3}$ を掛けます。

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)}$

ステップ 3

$\frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)}$ を掛けます。

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)} \cdot \frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)}$ に $\frac{x - 3}{x - 3}$ をかけます。

$\frac{(3 x + 1) (x - 3)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)} \cdot \frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)}$

ステップ 4.2

$\frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)}$ に $\frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)}$ をかけます。

$\frac{(3 x + 1) (x - 3)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)} + \frac{(x + 1) (2 (x + 1))}{(x - 3) (x - 1) (2 (x + 1))}$

ステップ 4.3

$(x - 3) (x - 1) (2 (x + 1))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(3 x + 1) (x - 3)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)} + \frac{(x + 1) (2 (x + 1))}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(3 x + 1) (x - 3) + (x + 1) (2 (x + 1))}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(3 x + 1) (x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x (x - 3) + 1 (x - 3) + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 1 (x - 3) + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.2.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} + 3 x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.2.1.2

$- 3$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 9 x + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.2.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 9 x + x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.2.1.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 9 x + x - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.2.2

$- 9 x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + (x \cdot 2 + 1 \cdot 2) (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + (2 \cdot x + 1 \cdot 2) (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + (2 \cdot x + 2) (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.6

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 2) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x (x + 1) + 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.7.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.7.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.7.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.7.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x^{2} + 4 x + 2}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.8

$3 x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{5 x^{2} - 8 x - 3 + 4 x + 2}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.9

$- 8 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{5 x^{2} - 4 x - 3 + 2}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.10

$- 3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{5 x^{2} - 4 x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.11

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 5 \cdot - 1 = - 5$ で和が $b = - 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.1.1

$- 4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{5 x^{2} - 4 (x) - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.11.1.2

$- 4$ を $1$ プラス $- 5$ に書き換える

$\frac{5 x^{2} + (1 - 5) x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.11.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{5 x^{2} + 1 x - 5 x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.11.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 x^{2} + x - 5 x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.11.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(5 x^{2} + x) - 5 x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.11.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (5 x + 1) - (5 x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 6.11.3

最大公約数 $5 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 7

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

共通因数を約分します。

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

ステップ 7.2

式を書き換えます。

$\frac{5 x + 1}{2 (x + 1) (x - 3)}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例