微分積分学準備例

$\frac{1}{x^{2} - 4} + 2$

ステップ 1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} - 2^{2}} + 2$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{1}{(x + 2) (x - 2)} + 2$

ステップ 2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ を掛けます。

$\frac{1}{(x + 2) (x - 2)} + 2 \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$2$ と $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ をまとめます。

$\frac{1}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + 2 ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + (2 x + 2 \cdot 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1 + (2 x + 4) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 4.3

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 4) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 4.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + 2 x (x - 2) + 4 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 4.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 4 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 4.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 4.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{1 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 4.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{1 + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 4.4.1.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1 + 2 x^{2} - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 4.4.1.3

$4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{1 + 2 x^{2} - 4 x + 4 x - 8}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 4.4.2

$- 4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{1 + 2 x^{2} + 0 - 8}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 4.4.3

$2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 + 2 x^{2} - 8}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 4.5

$1$ から $8$ を引きます。

$\frac{2 x^{2} - 7}{(x + 2) (x - 2)}$

微分積分学準備 例

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