微分積分学準備例

$\frac{1 + \sin (- x)}{1 + \cos (- x)} - \frac{1 - \sin (- x)}{1 - \cos (- x)}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

$\sin (- x)$ が奇関数なので、 $\sin (- x)$ を $- \sin (x)$ に書き換えます。

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (- x)} - \frac{1 - \sin (- x)}{1 - \cos (- x)}$

ステップ 1.2

$\cos (- x)$ が偶関数なので、 $\cos (- x)$ を $\cos (x)$ に書き換えます。

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - \sin (- x)}{1 - \cos (- x)}$

ステップ 1.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\sin (- x)$ が奇関数なので、 $\sin (- x)$ を $- \sin (x)$ に書き換えます。

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - - \sin (x)}{1 - \cos (- x)}$

ステップ 1.3.2

$- - \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.3.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 + 1 \sin (x)}{1 - \cos (- x)}$

ステップ 1.3.2.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (- x)}$

ステップ 1.4

$\cos (- x)$ が偶関数なので、 $\cos (- x)$ を $\cos (x)$ に書き換えます。

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)}$

ステップ 2

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)}$

ステップ 3

$- \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)}$ に $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ をかけます。

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 4.2

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)}$ に $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ をかけます。

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{(1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

ステップ 4.3

$(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{(1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 - \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - \sin (x)) (1 - \cos (x))$ を展開します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (1 - \cos (x)) - \sin (x) (1 - \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \sin (x) (1 - \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + 1 (- \cos (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.2.2

$- \cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.2.4

$- \sin (x) (- \cos (x))$ を掛けます。

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ステップ 6.2.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.2.4.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + (- 1 \cdot 1 - \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + (- 1 - \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.5

分配法則（FOIL法）を使って $(- 1 - \sin (x)) (1 + \cos (x))$ を展開します。

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ステップ 6.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 (1 + \cos (x)) - \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 - 1 \cos (x) - \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 - 1 \cos (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.6

各項を簡約します。

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ステップ 6.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 - 1 \cos (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.6.2

$- 1 \cos (x)$ を $- \cos (x)$ に書き換えます。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 - \cos (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.6.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 - \cos (x) - \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.7

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos (x) - \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.8

$0$ から $\cos (x)$ を引きます。

$\frac{- \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos (x) - \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.9

$- \cos (x)$ から $\cos (x)$ を引きます。

$\frac{- \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x) - \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.10

$- \sin (x)$ から $\sin (x)$ を引きます。

$\frac{\sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.11

$\sin (x) \cos (x)$ から $\sin (x) \cos (x)$ を引きます。

$\frac{0 - 2 \cos (x) - 2 \sin (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.12

$0$ から $2 \cos (x)$ を引きます。

$\frac{- 2 \cos (x) - 2 \sin (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.13

$- 2$ を $- 2 \cos (x) - 2 \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 6.13.1

$- 2$ を $- 2 \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{- 2 (\cos (x)) - 2 \sin (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.13.2

$- 2$ を $- 2 \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{- 2 (\cos (x)) - 2 (\sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.13.3

$- 2$ を $- 2 (\cos (x)) - 2 (\sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{- 2 (\cos (x) + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 (\cos (x) + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

微分積分学準備 例

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