微分積分学準備例

$\frac{2}{x^{2} - x - 2} + \frac{10}{x^{2} + 2 x - 8}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 2$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $- 1$ です。

$- 2, 1$

ステップ 1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{10}{x^{2} + 2 x - 8}$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 8$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 8$ で、その和が $2$ です。

$- 2, 4$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{10}{(x - 2) (x + 4)}$

ステップ 2

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 4}{x + 4}$ を掛けます。

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{10}{(x - 2) (x + 4)}$

ステップ 3

$\frac{10}{(x - 2) (x + 4)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{10}{(x - 2) (x + 4)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x - 2) (x + 1) (x + 4)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)}$ に $\frac{x + 4}{x + 4}$ をかけます。

$\frac{2 (x + 4)}{(x - 2) (x + 1) (x + 4)} + \frac{10}{(x - 2) (x + 4)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

ステップ 4.2

$\frac{10}{(x - 2) (x + 4)}$ に $\frac{x + 1}{x + 1}$ をかけます。

$\frac{2 (x + 4)}{(x - 2) (x + 1) (x + 4)} + \frac{10 (x + 1)}{(x - 2) (x + 4) (x + 1)}$

ステップ 4.3

$(x - 2) (x + 1) (x + 4)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)} + \frac{10 (x + 1)}{(x - 2) (x + 4) (x + 1)}$

ステップ 4.4

$(x - 2) (x + 4) (x + 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)} + \frac{10 (x + 1)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 (x + 4) + 10 (x + 1)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$2$ を $2 (x + 4) + 10 (x + 1)$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1

$2$ を $10 (x + 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x + 4) + 2 (5 (x + 1))}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

ステップ 6.1.2

$2$ を $2 (x + 4) + 2 (5 (x + 1))$ で因数分解します。

$\frac{2 (x + 4 + 5 (x + 1))}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (x + 4 + 5 x + 5 \cdot 1)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

ステップ 6.3

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x + 4 + 5 x + 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

ステップ 6.4

$x$ と $5 x$ をたし算します。

$\frac{2 (6 x + 4 + 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

ステップ 6.5

$4$ と $5$ をたし算します。

$\frac{2 (6 x + 9)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

ステップ 6.6

$3$ を $6 x + 9$ で因数分解します。

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ステップ 6.6.1

$3$ を $6 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 (2 x) + 9)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

ステップ 6.6.2

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 (2 x) + 3 (3))}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

ステップ 6.6.3

$3$ を $3 (2 x) + 3 (3)$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 (2 x + 3))}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

$\frac{2 \cdot 3 (2 x + 3)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

ステップ 6.7

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 (2 x + 3)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

微分積分学準備 例

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