微分積分学準備例

$\frac{x^{2} - x - 12}{x^{2} - 2 x - 15} \cdot \frac{x^{2} - 9 x + 20}{x^{2} - 8 x + 16}$

ステップ 1

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 12$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $- 1$ です。

$- 4, 3$

ステップ 1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{x^{2} - 2 x - 15} \cdot \frac{x^{2} - 9 x + 20}{x^{2} - 8 x + 16}$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $- 2$ です。

$- 5, 3$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{(x - 5) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} - 9 x + 20}{x^{2} - 8 x + 16}$

ステップ 3

たすき掛けを利用して $x^{2} - 9 x + 20$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $20$ で、その和が $- 9$ です。

$- 5, - 4$

ステップ 3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{(x - 5) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 16}$

ステップ 4

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 4.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{(x - 5) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 4^{2}}$

ステップ 4.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

ステップ 4.3

多項式を書き換えます。

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{(x - 5) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 4)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}$

ステップ 4.4

$a = x$ と $b = 4$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{(x - 5) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

まとめる。

$\frac{(x - 4) (x + 3) ((x - 5) (x - 4))}{(x - 5) (x + 3) {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 5.2

$x - 4$ と ${(x - 4)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$x - 4$ を $(x - 4) (x + 3) ((x - 5) (x - 4))$ で因数分解します。

$\frac{(x - 4) ((x + 3) ((x - 5) (x - 4)))}{(x - 5) (x + 3) {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$x - 4$ を $(x - 5) (x + 3) {(x - 4)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 4) ((x + 3) ((x - 5) (x - 4)))}{(x - 4) ((x - 5) (x + 3) (x - 4))}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 4) ((x + 3) ((x - 5) (x - 4)))}{(x - 4) ((x - 5) (x + 3) (x - 4))}$

ステップ 5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(x + 3) ((x - 5) (x - 4))}{(x - 5) (x + 3) (x - 4)}$

ステップ 5.3

$x + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 3) ((x - 5) (x - 4))}{(x - 5) (x + 3) (x - 4)}$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{(x - 5) (x - 4)}{(x - 5) (x - 4)}$

ステップ 5.4

$x - 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 5) (x - 4)}{(x - 5) (x - 4)}$

ステップ 5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{x - 4}{x - 4}$

ステップ 5.5

$x - 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{x - 4}{x - 4}$

ステップ 5.5.2

式を書き換えます。

$1$

微分積分学準備 例

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