微分積分学準備例

$\frac{1 - \cos^{4} (x)}{1 + \cos^{2} (x)}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2} - \cos^{4} (x)}{1 + \cos^{2} (x)}$

ステップ 1.2

$\cos^{4} (x)$ を ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}}{1 + \cos^{2} (x)}$

ステップ 1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \cos^{2} (x)$ です。

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 - \cos^{2} (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1^{2} - \cos^{2} (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

ステップ 1.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \cos (x)$ です。

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

ステップ 2

$1 + \cos^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

ステップ 2.2

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ を $1$ で割ります。

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$

ステップ 3

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

ステップ 4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

ステップ 4.1.2

$- \cos (x)$ に $1$ をかけます。

$1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

ステップ 4.1.3

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

ステップ 4.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos (x) \cos (x)$

ステップ 4.1.5

$- \cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 4.1.5.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))$

ステップ 4.1.5.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

ステップ 4.1.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}$

ステップ 4.1.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)$

ステップ 4.2

$- \cos (x)$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$1 + 0 - \cos^{2} (x)$

ステップ 4.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 - \cos^{2} (x)$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\sin^{2} (x)$

微分積分学準備 例

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