微分積分学準備例

$\frac{\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{\cos^{2} (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1.2

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1.3

$- 1$ を移動させます。

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1.4

$\cos^{2} (x)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1.6

$- 1$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1.7

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1.8

$- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ を $- (1 - \cos^{2} (x))$ に書き換えます。

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1.9

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- \sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1.10

$\sin^{2} (x)$ を $- \sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ で因数分解します。

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ステップ 1.10.1

$\sin^{2} (x)$ を $- \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot - 1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1.10.2

$\sin^{2} (x)$ を $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ で因数分解します。

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1.10.3

$\sin^{2} (x)$ を $\sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ で因数分解します。

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1 + \frac{1}{\cos^{2} (x)})}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1.11

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1 + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)})}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1.12

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ を ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1 + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2})}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1.13

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1^{2} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2})}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1.14

$- 1^{2}$ と ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{\sin^{2} (x) ({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1^{2})}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1.15

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{1}{\cos (x)}$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 2

$\sin^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 2.2

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ を $1$ で割ります。

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$

ステップ 3

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

ステップ 4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.1.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

ステップ 4.1.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

ステップ 4.1.1.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

ステップ 4.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

ステップ 4.1.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

ステップ 4.1.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

ステップ 4.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

ステップ 4.1.4

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

ステップ 4.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1$

ステップ 4.2

$- \frac{1}{\cos (x)}$ と $\frac{1}{\cos (x)}$ をたし算します。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + 0 - 1$

ステップ 4.3

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1$

ステップ 5

各項を簡約します。

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ステップ 5.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1$

ステップ 5.2

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ を ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ に書き換えます。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1$

ステップ 5.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\sec^{2} (x) - 1$

ステップ 6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\tan^{2} (x)$

微分積分学準備 例

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