微分積分学準備例

$\frac{x}{x^{2} - 10 x + 25} - \frac{x - 4}{2 x - 10}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x}{x^{2} - 10 x + 5^{2}} - \frac{x - 4}{2 x - 10}$

ステップ 1.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

ステップ 1.1.3

多項式を書き換えます。

$\frac{x}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} - \frac{x - 4}{2 x - 10}$

ステップ 1.1.4

$a = x$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} - \frac{x - 4}{2 x - 10}$

ステップ 1.2

$2$ を $2 x - 10$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} - \frac{x - 4}{2 (x) - 10}$

ステップ 1.2.2

$2$ を $- 10$ で因数分解します。

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} - \frac{x - 4}{2 x + 2 \cdot - 5}$

ステップ 1.2.3

$2$ を $2 x + 2 \cdot - 5$ で因数分解します。

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} - \frac{x - 4}{2 (x - 5)}$

ステップ 2

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x - 4}{2 (x - 5)}$

ステップ 3

$- \frac{x - 4}{2 (x - 5)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 5}{x - 5}$ を掛けます。

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x - 4}{2 (x - 5)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2 {(x - 5)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{x - 4}{2 (x - 5)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

ステップ 4.2

$\frac{x - 4}{2 (x - 5)}$ に $\frac{x - 5}{x - 5}$ をかけます。

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 (x - 5) (x - 5)}$

ステップ 4.3

$x - 5$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 ({(x - 5)}^{1} (x - 5))}$

ステップ 4.4

$x - 5$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 ({(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1})}$

ステップ 4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{1 + 1}}$

ステップ 4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 4.7

${(x - 5)}^{2} \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x \cdot 2}{2 {(x - 5)}^{2}} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x \cdot 2 - (x - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot x - (x - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x + (- x - - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 6.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{2 x + (- x + 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 6.4

分配法則（FOIL法）を使って $(- x + 4) (x - 5)$ を展開します。

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ステップ 6.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x - x (x - 5) + 4 (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 6.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x - x \cdot x - x \cdot - 5 + 4 (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 6.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x - x \cdot x - x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5}{2 {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 6.5

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.5.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.5.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x - (x \cdot x) - x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5}{2 {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 6.5.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x - x^{2} - x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5}{2 {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 6.5.1.2

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x - x^{2} + 5 x + 4 x + 4 \cdot - 5}{2 {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 6.5.1.3

$4$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{2 x - x^{2} + 5 x + 4 x - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 6.5.2

$5 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{2 x - x^{2} + 9 x - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 6.6

$2 x$ と $9 x$ をたし算します。

$\frac{- x^{2} + 11 x - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 7

くくりだして簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2}) + 11 x - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 7.2

$- 1$ を $11 x$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2}) - (- 11 x) - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 7.3

$- 1$ を $- (x^{2}) - (- 11 x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} - 11 x) - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 7.4

$- 20$ を $- 1 (20)$ に書き換えます。

$\frac{- (x^{2} - 11 x) - 1 (20)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 7.5

$- 1$ を $- (x^{2} - 11 x) - 1 (20)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} - 11 x + 20)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 7.6

式を簡約します。

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ステップ 7.6.1

$- (x^{2} - 11 x + 20)$ を $- 1 (x^{2} - 11 x + 20)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x^{2} - 11 x + 20)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 7.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{2} - 11 x + 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

微分積分学準備 例

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