微分積分学準備例

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 1

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

ステップ 3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.1

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ に $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} + \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

ステップ 3.2

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$ に $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} + \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3.3

$(1 - \cos (x)) \sin (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} + \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin (x) \sin (x) + (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5

分子を簡約します。

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ステップ 5.1

$\sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 5.1.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.1.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (x) + (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ を展開します。

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ステップ 5.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.3.1.2

$- \cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.3.1.4

$- \cos (x) (- \cos (x))$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.3.1.4.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.3.1.4.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.3.1.4.4

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.3.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.3.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.3.2

$- \cos (x)$ から $\cos (x)$ を引きます。

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.4

因数分解した形で $\sin^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ を書き換えます。

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ステップ 5.4.1

項を再分類します。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.4.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{1 + 1 - 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.4.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 - 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.4.4

$2$ を $2 - 2 \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1) - 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.4.4.2

$2$ を $- 2 \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (1) + 2 (- \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.4.4.3

$2$ を $2 (1) + 2 (- \cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6

$1 - \cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

ステップ 6.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{\sin (x)}$

ステップ 7

分数を分解します。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 8

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$\frac{2}{1} \csc (x)$

ステップ 9

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \csc (x)$

微分積分学準備 例

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