微分積分学準備例

$\sqrt{25 - x^{2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}}$

ステップ 1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{5^{2} - x^{2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}}$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 5$ であり、 $b = x$ です。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}}$

ステップ 1.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2}}{\sqrt{5^{2} - x^{2}}}$

ステップ 1.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 5$ であり、 $b = x$ です。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$

ステップ 1.4

$\frac{x^{2}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$ をかけます。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$

ステップ 1.5

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$\frac{x^{2}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$ をかけます。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$

ステップ 1.5.2

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ を $1$ 乗します。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{1} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$

ステップ 1.5.3

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ を $1$ 乗します。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{1} {\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{1}}$

ステップ 1.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{2}}$

ステップ 1.5.6

${\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{2}$ を $(5 + x) (5 - x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ を ${((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{({((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{((5 + x) (5 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{((5 + x) (5 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.5.6.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{((5 + x) (5 - x))}^{1}}$

ステップ 1.5.6.5

簡約します。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 2

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(5 + x) (5 - x)}{(5 + x) (5 - x)}$ を掛けます。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ と $\frac{(5 + x) (5 - x)}{(5 + x) (5 - x)}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x))}{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) + x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ を $\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) + x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ を $x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) + \sqrt{(5 + x) (5 - x)} x^{2}}{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 4.1.2

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ を $\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) + \sqrt{(5 + x) (5 - x)} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(5 + x) (5 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (5 (5 - x) + x (5 - x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (5 \cdot 5 + 5 (- x) + x (5 - x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 4.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (5 \cdot 5 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 4.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

$5$ に $5$ をかけます。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 4.3.1.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + x \cdot 5 + x (- x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 4.3.1.3

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + 5 \cdot x + x (- x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 4.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + 5 x - x \cdot x + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 4.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + 5 x - (x \cdot x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 4.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + 5 x - x^{2} + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 4.3.2

$- 5 x$ と $5 x$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 + 0 - x^{2} + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 4.3.3

$25$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - x^{2} + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 4.4

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 + 0)}{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 4.5

$25$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} \cdot 25}{(5 + x) (5 - x)}$

ステップ 5

$25$ を $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ の左に移動させます。

$\frac{25 \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例