微分積分学準備例

$2 \cos (\frac{π}{8}) - 1$

ステップ 1

$\cos (\frac{π}{8})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ です。

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ステップ 1.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{π}{8}$ を書き直します。

$2 \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) - 1$

ステップ 1.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$2 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}) - 1$

ステップ 1.3

余弦が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$2 \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} - 1$

ステップ 1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$2 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - 1$

ステップ 1.5

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - 1$

ステップ 1.5.2

公分母の分子をまとめます。

$2 \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} - 1$

ステップ 1.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} - 1$

ステップ 1.5.4

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.5.4.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} - 1$

ステップ 1.5.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} - 1$

ステップ 1.5.5

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} - 1$

ステップ 1.5.6

分母を簡約します。

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ステップ 1.5.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} - 1$

ステップ 1.5.6.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - 1$

ステップ 2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - 1$

ステップ 2.2

式を書き換えます。

$\sqrt{2 + \sqrt{2}} - 1$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\sqrt{2 + \sqrt{2}} - 1$

10進法形式：

$0.84775906 \dots$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例