微分積分学準備例

$1 - 2 \sin^{2} (67.5)$

ステップ 1

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$\cos (2 \cdot 67.5)$

ステップ 2

$2$ に $67.5$ をかけます。

$\cos (135)$

ステップ 3

$\cos (135)$ の厳密値は $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

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ステップ 3.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $135$ を書き直します。

$\cos (\frac{270}{2})$

ステップ 3.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (270)}{2}}$

ステップ 3.3

余弦が第二象限で負なので、 $\pm$ を $-$ に変えます。

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (270)}{2}}$

ステップ 3.4

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (270)}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (90)}{2}}$

ステップ 3.4.2

$\cos (90)$ の厳密値は $0$ です。

$- \sqrt{\frac{1 - 0}{2}}$

ステップ 3.4.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- \sqrt{\frac{1 + 0}{2}}$

ステップ 3.4.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.4.5

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.4.6

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.4.7

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

ステップ 3.4.8

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.8.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.4.8.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 3.4.8.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 3.4.8.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.4.8.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 3.4.8.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.8.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.4.8.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.4.8.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.8.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.8.6.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.8.6.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 3.4.8.6.5

指数を求めます。

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

10進法形式：

$- 0.70710678 \dots$

微分積分学準備 例

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