微分積分学準備例

$5^{2 x} + 5^{x + 1} - 14 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$5^{x + 1}$ を $5^{x} \cdot 5^{1}$ に書き換えます。

$5^{2 x} + 5^{x} \cdot 5 - 14 = 0$

ステップ 1.2

$5^{2 x}$ を ${(5^{x})}^{2}$ に書き換えます。

${(5^{x})}^{2} + 5^{x} \cdot 5 - 14 = 0$

ステップ 1.3

$u = 5^{x}$ とします。 $u$ を $5^{x}$ に代入します。

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ステップ 1.3.1

指数を求めます。

$u^{2} + u \cdot 5 - 14 = 0$

ステップ 1.3.2

$5$ を $u$ の左に移動させます。

$u^{2} + 5 u - 14 = 0$

ステップ 1.4

たすき掛けを利用して $u^{2} + 5 u - 14$ を因数分解します。

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ステップ 1.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 14$ で、その和が $5$ です。

$- 2, 7$

ステップ 1.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 2) (u + 7) = 0$

ステップ 1.5

$u$ のすべての発生を $5^{x}$ で置き換えます。

$(5^{x} - 2) (5^{x} + 7) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$5^{x} - 2 = 0$

$5^{x} + 7 = 0$

ステップ 3

$5^{x} - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$5^{x} - 2$ が $0$ に等しいとします。

$5^{x} - 2 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $5^{x} - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$5^{x} = 2$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (5^{x}) = \ln (2)$

ステップ 3.2.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (5^{x})$ を展開します。

$x \ln (5) = \ln (2)$

ステップ 3.2.4

$x \ln (5) = \ln (2)$ の各項を $\ln (5)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$x \ln (5) = \ln (2)$ の各項を $\ln (5)$ で割ります。

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (2)}{\ln (5)}$

ステップ 3.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.4.2.1

$\ln (5)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (2)}{\ln (5)}$

ステップ 3.2.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (5)}$

ステップ 4

$5^{x} + 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$5^{x} + 7$ が $0$ に等しいとします。

$5^{x} + 7 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $5^{x} + 7 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$5^{x} = - 7$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (5^{x}) = \ln (- 7)$

ステップ 4.2.3

$\ln (- 7)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 4.2.4

$5^{x} = - 7$ の解はありません

解がありません

ステップ 5

最終解は $(5^{x} - 2) (5^{x} + 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (5)}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (5)}$

10進法形式：

$x = 0.43067655 \dots$

微分積分学準備 例

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