微分積分学準備例

$49^{x} - 6 \cdot 7^{x} = - 9$

ステップ 1

方程式の両辺に $9$ を足します。

$49^{x} - 6 \cdot 7^{x} + 9 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

$49^{x}$ を ${(7^{2})}^{x}$ に書き換えます。

${(7^{2})}^{x} - 6 \cdot 7^{x} + 9 = 0$

ステップ 2.2

${(7^{2})}^{x}$ を ${(7^{x})}^{2}$ に書き換えます。

${(7^{x})}^{2} - 6 \cdot 7^{x} + 9 = 0$

ステップ 2.3

$u = 7^{x}$ とします。 $u$ を $7^{x}$ に代入します。

$u^{2} - 6 u + 9 = 0$

ステップ 2.4

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.4.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$u^{2} - 6 u + 3^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

ステップ 2.4.3

多項式を書き換えます。

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2} = 0$

ステップ 2.4.4

$a = u$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(u - 3)}^{2} = 0$

ステップ 2.5

$u$ のすべての発生を $7^{x}$ で置き換えます。

${(7^{x} - 3)}^{2} = 0$

ステップ 3

$7^{x} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$7^{x} - 3 = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$7^{x} = 3$

ステップ 4.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (7^{x}) = \ln (3)$

ステップ 4.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (7^{x})$ を展開します。

$x \ln (7) = \ln (3)$

ステップ 4.4

$x \ln (7) = \ln (3)$ の各項を $\ln (7)$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.4.1

$x \ln (7) = \ln (3)$ の各項を $\ln (7)$ で割ります。

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (3)}{\ln (7)}$

ステップ 4.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

$\ln (7)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (3)}{\ln (7)}$

ステップ 4.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (7)}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (7)}$

10進法形式：

$x = 0.56457503 \dots$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例