微分積分学準備例

$4^{2 x} - 5 \cdot 4^{x + \frac{1}{2}} + 16 = 0$

ステップ 1

$4^{x + \frac{1}{2}}$ を $4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$4^{2 x} - 5 \cdot (4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}}) + 16 = 0$

ステップ 2

$4^{2 x}$ を累乗法として書き換えます。

${(4^{x})}^{2} - 5 \cdot (4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}}) + 16 = 0$

ステップ 3

括弧を削除します。

${(4^{x})}^{2} - 5 \cdot 4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + 16 = 0$

ステップ 4

$u$ を $4^{x}$ に代入します。

$u^{2} - 5 \cdot u \cdot 4^{\frac{1}{2}} + 16 = 0$

ステップ 5

各項を簡約します。

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ステップ 5.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u^{2} - 5 u \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} + 16 = 0$

ステップ 5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u^{2} - 5 u \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + 16 = 0$

ステップ 5.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$u^{2} - 5 u \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + 16 = 0$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$u^{2} - 5 u \cdot 2 + 16 = 0$

ステップ 5.4

指数を求めます。

$u^{2} - 5 u \cdot 2 + 16 = 0$

ステップ 5.5

$2$ に $- 5$ をかけます。

$u^{2} - 10 u + 16 = 0$

ステップ 6

$u$ について解きます。

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ステップ 6.1

たすき掛けを利用して $u^{2} - 10 u + 16$ を因数分解します。

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ステップ 6.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $16$ で、その和が $- 10$ です。

$- 8, - 2$

ステップ 6.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 8) (u - 2) = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 8 = 0$

$u - 2 = 0$

ステップ 6.3

$u - 8$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 6.3.1

$u - 8$ が $0$ に等しいとします。

$u - 8 = 0$

ステップ 6.3.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$u = 8$

ステップ 6.4

$u - 2$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 6.4.1

$u - 2$ が $0$ に等しいとします。

$u - 2 = 0$

ステップ 6.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$u = 2$

ステップ 6.5

最終解は $(u - 8) (u - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 8, 2$

ステップ 7

$8$ を $u = 4^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$8 = 4^{x}$

ステップ 8

$8 = 4^{x}$ を解きます。

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ステップ 8.1

方程式を $4^{x} = 8$ として書き換えます。

$4^{x} = 8$

ステップ 8.2

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$2^{2 x} = 2^{3}$

ステップ 8.3

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$2 x = 3$

ステップ 8.4

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.4.1

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 8.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 8.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 9

$2$ を $u = 4^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$2 = 4^{x}$

ステップ 10

$2 = 4^{x}$ を解きます。

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ステップ 10.1

方程式を $4^{x} = 2$ として書き換えます。

$4^{x} = 2$

ステップ 10.2

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$2^{2 x} = 2^{1}$

ステップ 10.3

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$2 x = 1$

ステップ 10.4

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 10.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 10.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 11

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$

10進法形式：

$x = 1.5, 0.5$

帯分数形：

$x = 1 \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

微分積分学準備 例

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