微分積分学準備例

$8^{x^{2} - 2 x} = \frac{1}{2}$

ステップ 1

$2$ を $1$ 乗します。

$8^{x^{2} - 2 x} = \frac{1}{2^{1}}$

ステップ 2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $2^{1}$ を分子に移動させます。

$8^{x^{2} - 2 x} = 2^{- 1}$

ステップ 3

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$2^{3 (x^{2} - 2 x)} = 2^{- 1}$

ステップ 4

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$3 (x^{2} - 2 x) = - 1$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

$3 (x^{2} - 2 x) = - 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1.1

$3 (x^{2} - 2 x) = - 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 (x^{2} - 2 x)}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 5.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (x^{2} - 2 x)}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 5.1.2.1.2

$x^{2} - 2 x$ を $1$ で割ります。

$x^{2} - 2 x = \frac{- 1}{3}$

ステップ 5.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} - 2 x = - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $\frac{1}{3}$ を足します。

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} = 0$

ステップ 5.3

両辺に最小公分母 $3$ を掛け、次に簡約します。

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ステップ 5.3.1

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 (\frac{1}{3}) = 0$

ステップ 5.3.2

簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} - 6 x + 3 (\frac{1}{3}) = 0$

ステップ 5.3.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$3 x^{2} - 6 x + 3 (\frac{1}{3}) = 0$

ステップ 5.3.2.2.2

式を書き換えます。

$3 x^{2} - 6 x + 1 = 0$

ステップ 5.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.5

$a = 3$ 、 $b = - 6$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.6

簡約します。

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ステップ 5.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.6.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.6.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 5.6.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.6.1.2.2

$- 12$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.6.1.3

$36$ から $12$ を引きます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.6.1.4

$24$ を $2^{2} \cdot 6$ に書き換えます。

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ステップ 5.6.1.4.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{6}}{6}$

ステップ 5.6.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{6}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{3}$

ステップ 5.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{3 + \sqrt{6}}{3}, \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{3 + \sqrt{6}}{3}, \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$

10進法形式：

$x = 1.81649658 \dots, 0.18350341 \dots$

微分積分学準備 例

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