微分積分学準備例

$9^{x} - 3^{x} - 6 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$9^{x}$ を ${(3^{2})}^{x}$ に書き換えます。

${(3^{2})}^{x} - 3^{x} - 6 = 0$

ステップ 1.2

${(3^{2})}^{x}$ を ${(3^{x})}^{2}$ に書き換えます。

${(3^{x})}^{2} - 3^{x} - 6 = 0$

ステップ 1.3

$u = 3^{x}$ とします。 $u$ を $3^{x}$ に代入します。

$u^{2} - u - 6 = 0$

ステップ 1.4

たすき掛けを利用して $u^{2} - u - 6$ を因数分解します。

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ステップ 1.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $- 1$ です。

$- 3, 2$

ステップ 1.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 3) (u + 2) = 0$

$(u - 3) (u + 2) = 0$

ステップ 1.5

$u$ のすべての発生を $3^{x}$ で置き換えます。

$(3^{x} - 3) (3^{x} + 2) = 0$

$(3^{x} - 3) (3^{x} + 2) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3^{x} - 3 = 0$

$3^{x} + 2 = 0$

ステップ 3

$3^{x} - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$3^{x} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$3^{x} - 3 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $3^{x} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$3^{x} = 3$

ステップ 3.2.2

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$3^{x} = 3^{1}$

ステップ 3.2.3

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = 1$

$x = 1$

$x = 1$

ステップ 4

$3^{x} + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$3^{x} + 2$ が $0$ に等しいとします。

$3^{x} + 2 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $3^{x} + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$3^{x} = - 2$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{x}) = \ln (- 2)$

ステップ 4.2.3

$\ln (- 2)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 4.2.4

$3^{x} = - 2$ の解はありません

解がありません

解がありません

解がありません

ステップ 5

最終解は $(3^{x} - 3) (3^{x} + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$