微分積分学準備例

$e^{2 x} - 6 e^{x} + 9 = 0$

ステップ 1

$e^{2 x}$ を累乗法として書き換えます。

${(e^{x})}^{2} - 6 e^{x} + 9 = 0$

ステップ 2

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$u^{2} - 6 u + 9 = 0$

ステップ 3

$u$ について解きます。

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ステップ 3.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$u^{2} - 6 u + 3^{2} = 0$

ステップ 3.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

ステップ 3.1.3

多項式を書き換えます。

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2} = 0$

ステップ 3.1.4

$a = u$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(u - 3)}^{2} = 0$

${(u - 3)}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$u - 3$ が $0$ に等しいとします。

$u - 3 = 0$

ステップ 3.3

方程式の両辺に $3$ を足します。

$u = 3$

$u = 3$

ステップ 4

$3$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$3 = e^{x}$

ステップ 5

$3 = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $e^{x} = 3$ として書き換えます。

$e^{x} = 3$

ステップ 5.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

ステップ 5.3

左辺を展開します。

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ステップ 5.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (3)$

ステップ 5.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (3)$

ステップ 5.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (3)$

$x = \ln (3)$

$x = \ln (3)$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \ln (3)$

10進法形式：

$x = 1.09861228 \dots$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$