微分積分学準備例

$e^{2 x} + 7 e^{x} - 3 = 0$

ステップ 1

$e^{2 x}$ を累乗法として書き換えます。

${(e^{x})}^{2} + 7 e^{x} - 3 = 0$

ステップ 2

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$u^{2} + 7 u - 3 = 0$

ステップ 3

$u$ について解きます。

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ステップ 3.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.2

$a = 1$ 、 $b = 7$ 、および $c = - 3$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.1.2.2

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.1.3

$49$ と $12$ をたし算します。

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{61}}{2}$

ステップ 3.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

ステップ 4

$- \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$- \frac{7 - \sqrt{61}}{2} = e^{x}$

ステップ 5

$- \frac{7 - \sqrt{61}}{2} = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $e^{x} = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$ として書き換えます。

$e^{x} = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$

ステップ 5.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

ステップ 5.3

左辺を展開します。

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ステップ 5.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

ステップ 5.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

ステップ 5.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

ステップ 6

$- \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$- \frac{7 + \sqrt{61}}{2} = e^{x}$

ステップ 7

$- \frac{7 + \sqrt{61}}{2} = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 7.1

方程式を $e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$ として書き換えます。

$e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

ステップ 7.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{7 + \sqrt{61}}{2})$

ステップ 7.3

$\ln (- \frac{7 + \sqrt{61}}{2})$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 7.4

$e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$ の解はありません

解がありません

ステップ 8

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

10進法形式：

$x = - 0.90356001 \dots$

微分積分学準備 例

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