微分積分学準備例

$\csc^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

ステップ 1

$\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 恒等式に基づいて $\csc^{2} (x)$ を $\cot^{2} (x) + 1$ で置き換えます。

$(\cot^{2} (x) + 1) - 2 \cot (x) = 0$

ステップ 2

多項式を並べ替えます。

$\cot^{2} (x) - 2 \cot (x) + 1 = 0$

ステップ 3

$u$ を $\cot (x)$ に代入します。

${(u)}^{2} - 2 u + 1 = 0$

ステップ 4

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

ステップ 4.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

ステップ 4.3

多項式を書き換えます。

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

ステップ 4.4

$a = u$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(u - 1)}^{2} = 0$

ステップ 5

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 6

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 7

$\cot (x)$ を $u$ に代入します。

$\cot (x) = 1$

ステップ 8

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x = arccot (1)$

ステップ 9

右辺を簡約します。

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ステップ 9.1

$arccot (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 10

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 11

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 11.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 11.2

分数をまとめます。

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ステップ 11.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 11.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 11.3

分子を簡約します。

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ステップ 11.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 11.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 12

$\cot (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 12.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 12.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 12.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 12.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 13

$\cot (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 14

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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