微分積分学準備例

$\cos^{4} (x) - 1 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\cos^{4} (x) = 1$

ステップ 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt[4]{1}$

ステップ 3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\cos (x) = \pm 1$

ステップ 4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (x) = 1$

ステップ 4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (x) = - 1$

ステップ 4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (x) = 1, - 1$

ステップ 5

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = 1$

$\cos (x) = - 1$

ステップ 6

$\cos (x) = 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (1)$

ステップ 6.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 6.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - 0$

ステップ 6.4

$2 π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 6.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$\cos (x) = - 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- 1)$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$x = π$

ステップ 7.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - π$

ステップ 7.4

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 7.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 7.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 7.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 7.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

すべての解をまとめます。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

答えをまとめます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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