微分積分学準備例

$e^{4 x} - 6 e^{2 x} = 16$

ステップ 1

$e^{4 x}$ を累乗法として書き換えます。

${(e^{x})}^{4} - 6 e^{2 x} = 16$

ステップ 2

$e^{2 x}$ を累乗法として書き換えます。

${(e^{x})}^{4} - 6 {(e^{x})}^{2} = 16$

ステップ 3

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$u^{4} - 6 u^{2} = 16$

ステップ 4

$u$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$u^{4} - 6 u^{2} - 16 = 0$

ステップ 4.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$u^{4}$ を ${(u^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${(u^{2})}^{2} - 6 u^{2} - 16 = 0$

ステップ 4.2.2

$u = u^{2}$ とします。 $u$ を $u^{2}$ に代入します。

$u^{2} - 6 u - 16 = 0$

ステップ 4.2.3

たすき掛けを利用して $u^{2} - 6 u - 16$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 16$ で、その和が $- 6$ です。

$- 8, 2$

ステップ 4.2.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 8) (u + 2) = 0$

ステップ 4.2.4

$u$ のすべての発生を $u^{2}$ で置き換えます。

$(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$

ステップ 4.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u^{2} - 8 = 0$

$u^{2} + 2 = 0$

ステップ 4.4

$u^{2} - 8$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$u^{2} - 8$ が $0$ に等しいとします。

$u^{2} - 8 = 0$

ステップ 4.4.2

$u$ について $u^{2} - 8 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

方程式の両辺に $8$ を足します。

$u^{2} = 8$

ステップ 4.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{8}$

ステップ 4.4.2.3

$\pm \sqrt{8}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.3.1

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.3.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$u = \pm \sqrt{4 (2)}$

ステップ 4.4.2.3.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

ステップ 4.4.2.3.2

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \pm 2 \sqrt{2}$

ステップ 4.4.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$u = 2 \sqrt{2}$

ステップ 4.4.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$u = - 2 \sqrt{2}$

ステップ 4.4.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

ステップ 4.5

$u^{2} + 2$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$u^{2} + 2$ が $0$ に等しいとします。

$u^{2} + 2 = 0$

ステップ 4.5.2

$u$ について $u^{2} + 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$u^{2} = - 2$

ステップ 4.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 2}$

ステップ 4.5.2.3

$\pm \sqrt{- 2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.3.1

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$u = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

ステップ 4.5.2.3.2

$\sqrt{- 1 (2)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ に書き換えます。

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

ステップ 4.5.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$u = \pm i \sqrt{2}$

ステップ 4.5.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$u = i \sqrt{2}$

ステップ 4.5.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$u = - i \sqrt{2}$

ステップ 4.5.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$u = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

ステップ 4.6

最終解は $(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

ステップ 5

$2 \sqrt{2}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$2 \sqrt{2} = e^{x}$

ステップ 6

$2 \sqrt{2} = e^{x}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式を $e^{x} = 2 \sqrt{2}$ として書き換えます。

$e^{x} = 2 \sqrt{2}$

ステップ 6.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (2 \sqrt{2})$

ステップ 6.3

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (2 \sqrt{2})$

ステップ 6.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (2 \sqrt{2})$

ステップ 6.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (2 \sqrt{2})$

ステップ 7

$- 2 \sqrt{2}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$- 2 \sqrt{2} = e^{x}$

ステップ 8

$- 2 \sqrt{2} = e^{x}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

方程式を $e^{x} = - 2 \sqrt{2}$ として書き換えます。

$e^{x} = - 2 \sqrt{2}$

ステップ 8.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (- 2 \sqrt{2})$

ステップ 8.3

$\ln (- 2 \sqrt{2})$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 8.4

$e^{x} = - 2 \sqrt{2}$ の解はありません

解がありません

ステップ 9

$i \sqrt{2}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$i \sqrt{2} = e^{x}$

ステップ 10

$i \sqrt{2} = e^{x}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

方程式を $e^{x} = i \sqrt{2}$ として書き換えます。

$e^{x} = i \sqrt{2}$

ステップ 10.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{2})$

ステップ 10.3

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{2})$

ステップ 10.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{2})$

ステップ 10.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (i \sqrt{2})$

ステップ 10.4

右辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

$\ln (i \sqrt{2})$ を $\ln (i) + \ln (\sqrt{2})$ に書き換えます。

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{2})$

ステップ 10.4.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.4.3

$\frac{1}{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{\frac{1}{2}})$ を展開します。

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

ステップ 10.4.4

$\frac{1}{2}$ と $\ln (2)$ をまとめます。

$x = \ln (i) + \frac{\ln (2)}{2}$

ステップ 10.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1.1

$\frac{\ln (2)}{2}$ を $\frac{1}{2} \ln (2)$ に書き換えます。

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

ステップ 10.5.1.2

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (2)$ を簡約します。

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10.5.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$x = \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$

ステップ 11

$- i \sqrt{2}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$- i \sqrt{2} = e^{x}$

ステップ 12

$- i \sqrt{2} = e^{x}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

方程式を $e^{x} = - i \sqrt{2}$ として書き換えます。

$e^{x} = - i \sqrt{2}$

ステップ 12.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{2})$

ステップ 12.3

$\ln (- i \sqrt{2})$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 12.4

$e^{x} = - i \sqrt{2}$ の解はありません

解がありません

ステップ 13

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \ln (2 \sqrt{2}), \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例