微分積分学準備例

$e^{x} (8 - e^{x}) = 16$

ステップ 1

$e^{x} (8 - e^{x})$ を簡約します。

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ステップ 1.1

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 1.1.1

分配則を当てはめます。

$e^{x} \cdot 8 + e^{x} (- e^{x}) = 16$

ステップ 1.1.2

並べ替えます。

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ステップ 1.1.2.1

$8$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$8 \cdot e^{x} + e^{x} (- e^{x}) = 16$

ステップ 1.1.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$8 \cdot e^{x} - e^{x} e^{x} = 16$

ステップ 1.2

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$8 e^{x} - (e^{x} e^{x}) = 16$

ステップ 1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 e^{x} - e^{x + x} = 16$

ステップ 1.2.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$8 e^{x} - e^{2 x} = 16$

ステップ 2

$e^{2 x}$ を累乗法として書き換えます。

$8 e^{x} - {(e^{x})}^{2} = 16$

ステップ 3

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$8 u - u^{2} = 16$

ステップ 4

$8 u$ と $- u^{2}$ を並べ替えます。

$- u^{2} + 8 u = 16$

ステップ 5

$u$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$- u^{2} + 8 u - 16 = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ を $- u^{2} + 8 u - 16$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 1$ を $- u^{2}$ で因数分解します。

$- (u^{2}) + 8 u - 16 = 0$

ステップ 5.2.1.2

$- 1$ を $8 u$ で因数分解します。

$- (u^{2}) - (- 8 u) - 16 = 0$

ステップ 5.2.1.3

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$- (u^{2}) - (- 8 u) - 1 \cdot 16 = 0$

ステップ 5.2.1.4

$- 1$ を $- (u^{2}) - (- 8 u)$ で因数分解します。

$- (u^{2} - 8 u) - 1 \cdot 16 = 0$

ステップ 5.2.1.5

$- 1$ を $- (u^{2} - 8 u) - 1 (16)$ で因数分解します。

$- (u^{2} - 8 u + 16) = 0$

ステップ 5.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 5.2.2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$- (u^{2} - 8 u + 4^{2}) = 0$

ステップ 5.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

ステップ 5.2.2.3

多項式を書き換えます。

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

ステップ 5.2.2.4

$a = u$ と $b = 4$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- {(u - 4)}^{2} = 0$

ステップ 5.3

$- {(u - 4)}^{2} = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- {(u - 4)}^{2} = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- {(u - 4)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{{(u - 4)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2

${(u - 4)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(u - 4)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

${(u - 4)}^{2} = 0$

ステップ 5.4

$u - 4$ が $0$ に等しいとします。

$u - 4 = 0$

ステップ 5.5

方程式の両辺に $4$ を足します。

$u = 4$

ステップ 6

$4$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$4 = e^{x}$

ステップ 7

$4 = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 7.1

方程式を $e^{x} = 4$ として書き換えます。

$e^{x} = 4$

ステップ 7.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (4)$

ステップ 7.3

左辺を展開します。

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ステップ 7.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (4)$

ステップ 7.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (4)$

ステップ 7.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (4)$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \ln (4)$

10進法形式：

$x = 1.38629436 \dots$

微分積分学準備 例

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