微分積分学準備例

$\sin^{2} (x) + \sin (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 1

$u$ を $\sin (x)$ に代入します。

${(u)}^{2} + u = \frac{1}{2}$

ステップ 2

方程式の両辺から $\frac{1}{2}$ を引きます。

$u^{2} + u - \frac{1}{2} = 0$

ステップ 3

両辺に最小公分母 $2$ を掛け、次に簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$2 u^{2} + 2 u + 2 (- \frac{1}{2}) = 0$

ステップ 3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 u^{2} + 2 u + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$2 u^{2} + 2 u + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$2 u^{2} + 2 u - 1 = 0$

ステップ 4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5

$a = 2$ 、 $b = 2$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 6.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.2.2

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.3

$4$ と $8$ をたし算します。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 6.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

ステップ 6.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ を簡約します。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

ステップ 8

$\sin (x)$ を $u$ に代入します。

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

ステップ 9

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

ステップ 10

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 10.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

ステップ 10.2

右辺を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$ の値を求めます。

$x = 0.37473443$

ステップ 10.3

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$

ステップ 10.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 10.4.1

$2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265 - 2 π$

ステップ 10.4.2

$2.76685822$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$ と隣接します。

$x = 2.76685822$

ステップ 10.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 10.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 10.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 10.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 10.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 10.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.37473443 + 2 π n, 2.76685822 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 11.1

正弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 12

すべての解をまとめます。

$x = 0.37473443 + 2 π n, 2.76685822 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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