微分積分学準備例

$- \sin^{2} (x) = 2 \cos (x) - 2$

ステップ 1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $2 \cos (x)$ を引きます。

$- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = - 2$

ステップ 1.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 = 0$

ステップ 2

$\sin^{2} (x)$ を $1 - \cos^{2} (x)$ で置き換えます。

$- (1 - \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) + 2 = 0$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$u$ を $\cos (x)$ に代入します。

$- (1 - {(u)}^{2}) - 2 u + 2 = 0$

ステップ 3.2

$- (1 - u^{2}) - 2 u + 2$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$- 1 \cdot 1 - - u^{2} - 2 u + 2 = 0$

ステップ 3.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 - - u^{2} - 2 u + 2 = 0$

ステップ 3.2.1.3

$- - u^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 1 + 1 u^{2} - 2 u + 2 = 0$

ステップ 3.2.1.3.2

$u^{2}$ に $1$ をかけます。

$- 1 + u^{2} - 2 u + 2 = 0$

ステップ 3.2.2

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

ステップ 3.3

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

ステップ 3.3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

ステップ 3.3.3

多項式を書き換えます。

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

ステップ 3.3.4

$a = u$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(u - 1)}^{2} = 0$

ステップ 3.4

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 3.5

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 3.6

$\cos (x)$ を $u$ に代入します。

$\cos (x) = 1$

ステップ 3.7

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (1)$

ステップ 3.8

右辺を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3.9

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - 0$

ステップ 3.10

$2 π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 3.11

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.11.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.11.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.11.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.11.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.12

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

答えをまとめます。

$x = 2 π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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