微分積分学準備例

$\sqrt{\log (x - 4)} = \log (x - 4)$

ステップ 1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{\log (x - 4)}}^{2} = \log^{2} (x - 4)$

ステップ 2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\log (x - 4)}$ を ${\log (x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({\log (x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = \log^{2} (x - 4)$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

${({\log (x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

${({\log (x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${\log (x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \log^{2} (x - 4)$

ステップ 2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${\log (x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \log^{2} (x - 4)$

ステップ 2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\log^{1} (x - 4) = \log^{2} (x - 4)$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

$\log (x - 4) = \log^{2} (x - 4)$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $\log^{2} (x - 4)$ を引きます。

$\log (x - 4) - \log^{2} (x - 4) = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$u = \log (x - 4)$ とします。 $u$ を $\log (x - 4)$ に代入します。

$u - u^{2} = 0$

ステップ 3.2.2

$u$ を $u - u^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.2.1

$u$ を $1$ 乗します。

$u - u^{2} = 0$

ステップ 3.2.2.2

$u$ を $u^{1}$ で因数分解します。

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

ステップ 3.2.2.3

$u$ を $- u^{2}$ で因数分解します。

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

ステップ 3.2.2.4

$u$ を $u \cdot 1 + u (- u)$ で因数分解します。

$u (1 - u) = 0$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $\log (x - 4)$ で置き換えます。

$\log (x - 4) (1 - \log (x - 4)) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\log (x - 4) = 0$

$1 - \log (x - 4) = 0$

ステップ 3.4

$\log (x - 4)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$\log (x - 4)$ が $0$ に等しいとします。

$\log (x - 4) = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $\log (x - 4) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

対数の定義を利用して $\log (x - 4) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$10^{0} = x - 4$

ステップ 3.4.2.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.4.2.2.1

方程式を $x - 4 = 10^{0}$ として書き換えます。

$x - 4 = 10^{0}$

ステップ 3.4.2.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x - 4 = 1$

ステップ 3.4.2.2.3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.4.2.2.3.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 1 + 4$

ステップ 3.4.2.2.3.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$x = 5$

ステップ 3.5

$1 - \log (x - 4)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$1 - \log (x - 4)$ が $0$ に等しいとします。

$1 - \log (x - 4) = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について $1 - \log (x - 4) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \log (x - 4) = - 1$

ステップ 3.5.2.2

$- \log (x - 4) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

$- \log (x - 4) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \log (x - 4)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\log (x - 4)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.5.2.2.2.2

$\log (x - 4)$ を $1$ で割ります。

$\log (x - 4) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\log (x - 4) = 1$

ステップ 3.5.2.3

対数の定義を利用して $\log (x - 4) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$10^{1} = x - 4$

ステップ 3.5.2.4

$x$ について解きます。

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ステップ 3.5.2.4.1

方程式を $x - 4 = 10^{1}$ として書き換えます。

$x - 4 = 10$

ステップ 3.5.2.4.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.5.2.4.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 10 + 4$

ステップ 3.5.2.4.2.2

$10$ と $4$ をたし算します。

$x = 14$

ステップ 3.6

最終解は $\log (x - 4) (1 - \log (x - 4)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, 14$

微分積分学準備 例

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