微分積分学準備例

$\sqrt{x + 5} - 2 x = 5$

ステップ 1

方程式の両辺に $2 x$ を足します。

$\sqrt{x + 5} = 5 + 2 x$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x + 5}}^{2} = {(5 + 2 x)}^{2}$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 5}$ を ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 + 2 x)}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 + 2 x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 + 2 x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x + 5)}^{1} = {(5 + 2 x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

簡約します。

$x + 5 = {(5 + 2 x)}^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

${(5 + 2 x)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

${(5 + 2 x)}^{2}$ を $(5 + 2 x) (5 + 2 x)$ に書き換えます。

$x + 5 = (5 + 2 x) (5 + 2 x)$

ステップ 3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(5 + 2 x) (5 + 2 x)$ を展開します。

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ステップ 3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$x + 5 = 5 (5 + 2 x) + 2 x (5 + 2 x)$

ステップ 3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$x + 5 = 5 \cdot 5 + 5 (2 x) + 2 x (5 + 2 x)$

ステップ 3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$x + 5 = 5 \cdot 5 + 5 (2 x) + 2 x \cdot 5 + 2 x (2 x)$

ステップ 3.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.3.1.1

$5$ に $5$ をかけます。

$x + 5 = 25 + 5 (2 x) + 2 x \cdot 5 + 2 x (2 x)$

ステップ 3.3.1.3.1.2

$2$ に $5$ をかけます。

$x + 5 = 25 + 10 x + 2 x \cdot 5 + 2 x (2 x)$

ステップ 3.3.1.3.1.3

$5$ に $2$ をかけます。

$x + 5 = 25 + 10 x + 10 x + 2 x (2 x)$

ステップ 3.3.1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$x + 5 = 25 + 10 x + 10 x + 2 \cdot 2 x \cdot x$

ステップ 3.3.1.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$x + 5 = 25 + 10 x + 10 x + 2 \cdot 2 (x \cdot x)$

ステップ 3.3.1.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x + 5 = 25 + 10 x + 10 x + 2 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 3.3.1.3.1.6

$2$ に $2$ をかけます。

$x + 5 = 25 + 10 x + 10 x + 4 x^{2}$

ステップ 3.3.1.3.2

$10 x$ と $10 x$ をたし算します。

$x + 5 = 25 + 20 x + 4 x^{2}$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$25 + 20 x + 4 x^{2} = x + 5$

ステップ 4.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$25 + 20 x + 4 x^{2} - x = 5$

ステップ 4.2.2

$20 x$ から $x$ を引きます。

$25 + 4 x^{2} + 19 x = 5$

ステップ 4.3

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$25 + 4 x^{2} + 19 x - 5 = 0$

ステップ 4.3.2

$25$ から $5$ を引きます。

$4 x^{2} + 19 x + 20 = 0$

ステップ 4.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.5

$a = 4$ 、 $b = 19$ 、および $c = 20$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 20)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.6

簡約します。

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ステップ 4.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1.1

$19$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 4 \cdot 20}}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.6.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 20$ を掛けます。

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ステップ 4.6.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 16 \cdot 20}}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.6.1.2.2

$- 16$ に $20$ をかけます。

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 320}}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.6.1.3

$361$ から $320$ を引きます。

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.6.2

$2$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{41}}{8}$

ステップ 4.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{19 - \sqrt{41}}{8}, - \frac{19 + \sqrt{41}}{8}$

ステップ 5

$\sqrt{x + 5} - 2 x = 5$ が真にならない解を除外します。

$x = - \frac{19 - \sqrt{41}}{8}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - \frac{19 - \sqrt{41}}{8}$

10進法形式：

$x = - 1.57460947 \dots$

微分積分学準備 例

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