微分積分学準備例

$\sec^{2} (x) + 6 \tan (x) + 4 = 0$

ステップ 1

$\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式に基づいて $\sec^{2} (x)$ を $1 + \tan^{2} (x)$ で置き換えます。

$(1 + \tan^{2} (x)) + 6 \tan (x) + 4 = 0$

ステップ 2

$1$ と $4$ をたし算します。

$\tan^{2} (x) + 6 \tan (x) + 5 = 0$

ステップ 3

$u$ を $\tan (x)$ に代入します。

${(u)}^{2} + 6 (u) + 5 = 0$

ステップ 4

たすき掛けを利用して $u^{2} + 6 u + 5$ を因数分解します。

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ステップ 4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $5$ で、その和が $6$ です。

$1, 5$

ステップ 4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u + 1) (u + 5) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u + 1 = 0$

$u + 5 = 0$

ステップ 6

$u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 6.1

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 7

$u + 5$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 7.1

$u + 5$ が $0$ に等しいとします。

$u + 5 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$u = - 5$

ステップ 8

最終解は $(u + 1) (u + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = - 1, - 5$

ステップ 9

$\tan (x)$ を $u$ に代入します。

$\tan (x) = - 1, - 5$

ステップ 10

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\tan (x) = - 1$

$\tan (x) = - 5$

ステップ 11

$\tan (x) = - 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 11.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- 1)$

ステップ 11.2

右辺を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 11.3

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{4} - π$

ステップ 11.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 11.4.1

$2 π$ に $- \frac{π}{4} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

ステップ 11.4.2

$\frac{3 π}{4}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{4} - π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 11.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 11.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 11.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 11.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 11.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 11.6

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 11.6.1

$π$ を $- \frac{π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{4} + π$

ステップ 11.6.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 11.6.3

分数をまとめます。

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ステップ 11.6.3.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 11.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 11.6.4

分子を簡約します。

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ステップ 11.6.4.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 11.6.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{4}$

ステップ 11.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 11.7

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

$\tan (x) = - 5$ の $x$ について解きます。

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ステップ 12.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- 5)$

ステップ 12.2

右辺を簡約します。

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ステップ 12.2.1

$\arctan (- 5)$ の値を求めます。

$x = - 1.37340076$

ステップ 12.3

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - 1.37340076 - (3.14159265)$

ステップ 12.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 12.4.1

$2 π$ に $- 1.37340076 - (3.14159265)$ をたし算します。

$x = - 1.37340076 - (3.14159265) + 2 π$

ステップ 12.4.2

$1.76819188$ の結果の角度は正で $- 1.37340076 - (3.14159265)$ と隣接します。

$x = 1.76819188$

ステップ 12.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 12.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 12.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 12.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 12.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 12.6

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 12.6.1

$π$ を $- 1.37340076$ に足し、正の角を求めます。

$- 1.37340076 + π$

ステップ 12.6.2

10進法の概算で置き換えます。

$3.14159265 - 1.37340076$

ステップ 12.6.3

$3.14159265$ から $1.37340076$ を引きます。

$1.76819188$

ステップ 12.6.4

新しい角をリストします。

$x = 1.76819188$

ステップ 12.7

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.76819188 + π n, 1.76819188 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

すべての解をまとめます。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, 1.76819188 + π n, 1.76819188 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 14

解をまとめます。

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ステップ 14.1

$\frac{3 π}{4} + π n$ と $\frac{3 π}{4} + π n$ を $\frac{3 π}{4} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 1.76819188 + π n, 1.76819188 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 14.2

$1.76819188 + π n$ と $1.76819188 + π n$ を $1.76819188 + π n$ にまとめます。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 1.76819188 + π n$ 、任意の整数 $n$

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