微分積分学準備例

$\log_{x} (\frac{1}{4}) = - \frac{2}{3}$

ステップ 1

対数の定義を利用して $\log_{x} (\frac{1}{4}) = - \frac{2}{3}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$x^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{4}$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{4}$

ステップ 2.2

1番目の分数の分子に2番目の分数の分母を掛けます。これを1番目の分数の分母と2番目の分数の分子の積に等しくします。

$1 \cdot 4 = x^{\frac{2}{3}} \cdot 1$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式を $x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 = 1 \cdot 4$ として書き換えます。

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 = 1 \cdot 4$

ステップ 2.3.2

$x$ を含む項を不等式の左辺に移動させ、簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$x^{\frac{2}{3}}$ に $1$ をかけます。

$x^{\frac{2}{3}} = 1 \cdot 4$

ステップ 2.3.2.2

$4$ に $1$ をかけます。

$x^{\frac{2}{3}} = 4$

ステップ 2.3.3

方程式の両辺を $\frac{3}{2}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

ステップ 2.3.4

指数を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1.1

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1.1.1

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.4.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

ステップ 2.3.4.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.4.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

ステップ 2.3.4.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

ステップ 2.3.4.1.1.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.4.1.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

ステップ 2.3.4.1.1.1.3.2

式を書き換えます。

$x^{1} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

ステップ 2.3.4.1.1.2

簡約します。

$x = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

ステップ 2.3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.4.2.1

$\pm 4^{\frac{3}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.4.2.1.1

式を簡約します。

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ステップ 2.3.4.2.1.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 2.3.4.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

ステップ 2.3.4.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

ステップ 2.3.4.2.1.2.2

式を書き換えます。

$x = \pm 2^{3}$

ステップ 2.3.4.2.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$x = \pm 8$

ステップ 2.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 8$

ステップ 2.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 8$

ステップ 2.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 8, - 8$

ステップ 3

$\log_{x} (\frac{1}{4}) = - \frac{2}{3}$ が真にならない解を除外します。

$x = 8$

微分積分学準備 例

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