微分積分学準備例

$\log_{2} (x - 6) = 5 - \log_{2} (2 x)$

ステップ 1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\log_{2} (x - 6) + \log_{2} (2 x) = 5$

ステップ 2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{2} ((x - 6) (2 x)) = 5$

ステップ 3

分配則を当てはめます。

$\log_{2} (x (2 x) - 6 (2 x)) = 5$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\log_{2} (2 x \cdot x - 6 (2 x)) = 5$

ステップ 4.2

$2$ に $- 6$ をかけます。

$\log_{2} (2 x \cdot x - 12 x) = 5$

ステップ 5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$x$ を移動させます。

$\log_{2} (2 (x \cdot x) - 12 x) = 5$

ステップ 5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\log_{2} (2 x^{2} - 12 x) = 5$

ステップ 6

対数の定義を利用して $\log_{2} (2 x^{2} - 12 x) = 5$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$2^{5} = 2 x^{2} - 12 x$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式を $2 x^{2} - 12 x = 2^{5}$ として書き換えます。

$2 x^{2} - 12 x = 2^{5}$

ステップ 7.2

$2$ を $5$ 乗します。

$2 x^{2} - 12 x = 32$

ステップ 7.3

方程式の両辺から $32$ を引きます。

$2 x^{2} - 12 x - 32 = 0$

ステップ 7.4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 7.4.1

$2$ を $2 x^{2} - 12 x - 32$ で因数分解します。

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ステップ 7.4.1.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$2 (x^{2}) - 12 x - 32 = 0$

ステップ 7.4.1.2

$2$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) - 32 = 0$

ステップ 7.4.1.3

$2$ を $- 32$ で因数分解します。

$2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 16 = 0$

ステップ 7.4.1.4

$2$ を $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ で因数分解します。

$2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 16 = 0$

ステップ 7.4.1.5

$2$ を $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 16$ で因数分解します。

$2 (x^{2} - 6 x - 16) = 0$

ステップ 7.4.2

因数分解。

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ステップ 7.4.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 6 x - 16$ を因数分解します。

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ステップ 7.4.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 16$ で、その和が $- 6$ です。

$- 8, 2$

ステップ 7.4.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$2 ((x - 8) (x + 2)) = 0$

ステップ 7.4.2.2

不要な括弧を削除します。

$2 (x - 8) (x + 2) = 0$

ステップ 7.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 8 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 7.6

$x - 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.6.1

$x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$x - 8 = 0$

ステップ 7.6.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x = 8$

ステップ 7.7

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.7.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 7.7.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 7.8

最終解は $2 (x - 8) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 8, - 2$

ステップ 8

$\log_{2} (x - 6) = 5 - \log_{2} (2 x)$ が真にならない解を除外します。

$x = 8$

微分積分学準備 例

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