微分積分学準備例

$\log_{20} (x - 1) + \log_{20} (x) = 1$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{20} ((x - 1) x) = 1$

ステップ 1.2

分配則を当てはめます。

$\log_{20} (x \cdot x - 1 x) = 1$

ステップ 1.3

式を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\log_{20} (x^{2} - 1 x) = 1$

ステップ 1.3.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\log_{20} (x^{2} - x) = 1$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log_{20} (x^{2} - x) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$20^{1} = x^{2} - x$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $x^{2} - x = 20^{1}$ として書き換えます。

$x^{2} - x = 20$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $20$ を引きます。

$x^{2} - x - 20 = 0$

ステップ 3.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 20$ を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 20$ で、その和が $- 1$ です。

$- 5, 4$

ステップ 3.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 5) (x + 4) = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 3.5

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 3.6

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 3.7

最終解は $(x - 5) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, - 4$

ステップ 4

$\log_{20} (x - 1) + \log_{20} (x) = 1$ が真にならない解を除外します。

$x = 5$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例