微分積分学準備例

$\log_{5} (x) - \log_{5} (2 x + 3) + \log_{5} (2 x - 3) = 0$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{5} (\frac{x}{2 x + 3}) + \log_{5} (2 x - 3) = 0$

ステップ 1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{5} (\frac{x}{2 x + 3} \cdot (2 x - 3)) = 0$

ステップ 1.3

$\frac{x}{2 x + 3}$ に $2 x - 3$ をかけます。

$\log_{5} (\frac{x (2 x - 3)}{2 x + 3}) = 0$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log_{5} (\frac{x (2 x - 3)}{2 x + 3}) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$5^{0} = \frac{x (2 x - 3)}{2 x + 3}$

ステップ 3

分数を削除するためにたすき掛けします。

$x (2 x - 3) = 5^{0} (2 x + 3)$

ステップ 4

$5^{0} (2 x + 3)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x (2 x - 3) = 1 (2 x + 3)$

ステップ 4.2

$2 x + 3$ に $1$ をかけます。

$x (2 x - 3) = 2 x + 3$

ステップ 5

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$x (2 x - 3) - 2 x = 3$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分配則を当てはめます。

$x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 x = 3$

ステップ 5.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 x = 3$

ステップ 5.2.3

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x \cdot x - 3 \cdot x - 2 x = 3$

ステップ 5.2.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.2.4.1

$x$ を移動させます。

$2 (x \cdot x) - 3 \cdot x - 2 x = 3$

ステップ 5.2.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 x = 3$

$2 x^{2} - 3 x - 2 x = 3$

ステップ 5.3

$- 3 x$ から $2 x$ を引きます。

$2 x^{2} - 5 x = 3$

ステップ 6

$x$ を $2 x^{2} - 5 x$ で因数分解します。

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ステップ 6.1

$x$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$x (2 x) - 5 x = 3$

ステップ 6.2

$x$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$x (2 x) + x \cdot - 5 = 3$

ステップ 6.3

$x$ を $x (2 x) + x \cdot - 5$ で因数分解します。

$x (2 x - 5) = 3$

ステップ 7

$x (2 x - 5)$ を簡約します。

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ステップ 7.1

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 7.1.1

分配則を当てはめます。

$x (2 x) + x \cdot - 5 = 3$

ステップ 7.1.2

並べ替えます。

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ステップ 7.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 x \cdot x + x \cdot - 5 = 3$

ステップ 7.1.2.2

$- 5$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x \cdot x - 5 \cdot x = 3$

ステップ 7.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 7.2.1

$x$ を移動させます。

$2 (x \cdot x) - 5 \cdot x = 3$

ステップ 7.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} - 5 \cdot x = 3$

$2 x^{2} - 5 x = 3$

ステップ 8

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

ステップ 9

群による因数分解。

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ステップ 9.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ で和が $b = - 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 9.1.1

$- 5$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

ステップ 9.1.2

$- 5$ を $1$ プラス $- 6$ に書き換える

$2 x^{2} + (1 - 6) x - 3 = 0$

ステップ 9.1.3

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3 = 0$

ステップ 9.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$2 x^{2} + x - 6 x - 3 = 0$

ステップ 9.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 9.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 x^{2} + x) - 6 x - 3 = 0$

ステップ 9.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1) = 0$

ステップ 9.3

最大公約数 $2 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 x + 1) (x - 3) = 0$

ステップ 10

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 11

$2 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$2 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 1 = 0$

ステップ 11.2

$x$ について $2 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 11.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 11.2.2

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 11.2.2.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 11.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 11.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 11.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 11.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 11.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 12

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 13

最終解は $(2 x + 1) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{1}{2}, 3$

ステップ 14

$\log_{5} (x) - \log_{5} (2 x + 3) + \log_{5} (2 x - 3) = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = 3$

微分積分学準備 例

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