微分積分学準備例

$\log_{4} (x + 61) + \log_{4} (x + 1) = 4$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{4} ((x + 61) (x + 1)) = 4$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 61) (x + 1)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\log_{4} (x (x + 1) + 61 (x + 1)) = 4$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot 1 + 61 (x + 1)) = 4$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot 1 + 61 x + 61 \cdot 1) = 4$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\log_{4} (x^{2} + x \cdot 1 + 61 x + 61 \cdot 1) = 4$

ステップ 1.3.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\log_{4} (x^{2} + x + 61 x + 61 \cdot 1) = 4$

ステップ 1.3.1.3

$61$ に $1$ をかけます。

$\log_{4} (x^{2} + x + 61 x + 61) = 4$

ステップ 1.3.2

$x$ と $61 x$ をたし算します。

$\log_{4} (x^{2} + 62 x + 61) = 4$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log_{4} (x^{2} + 62 x + 61) = 4$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$4^{4} = x^{2} + 62 x + 61$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $x^{2} + 62 x + 61 = 4^{4}$ として書き換えます。

$x^{2} + 62 x + 61 = 4^{4}$

ステップ 3.2

$4$ を $4$ 乗します。

$x^{2} + 62 x + 61 = 256$

ステップ 3.3

方程式の両辺から $256$ を引きます。

$x^{2} + 62 x + 61 - 256 = 0$

ステップ 3.4

$61$ から $256$ を引きます。

$x^{2} + 62 x - 195 = 0$

ステップ 3.5

たすき掛けを利用して $x^{2} + 62 x - 195$ を因数分解します。

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ステップ 3.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 195$ で、その和が $62$ です。

$- 3, 65$

ステップ 3.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) (x + 65) = 0$

ステップ 3.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 65 = 0$

ステップ 3.7

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.7.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.7.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 3.8

$x + 65$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.8.1

$x + 65$ が $0$ に等しいとします。

$x + 65 = 0$

ステップ 3.8.2

方程式の両辺から $65$ を引きます。

$x = - 65$

ステップ 3.9

最終解は $(x - 3) (x + 65) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 65$

ステップ 4

$\log_{4} (x + 61) + \log_{4} (x + 1) = 4$ が真にならない解を除外します。

$x = 3$

微分積分学準備 例

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