微分積分学準備例

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$

ステップ 1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$\ln (x - 1), 1$

ステップ 1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$\ln (x - 1)$

ステップ 2

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ の各項に $\ln (x - 1)$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.1

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ の各項に $\ln (x - 1)$ を掛けます。

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} \ln (x - 1) = 2 \ln (x - 1)$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\ln (x - 1)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} \ln (x - 1) = 2 \ln (x - 1)$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$\ln (x + 1) = 2 \ln (x - 1)$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x - 1)$ を簡約します。

$\ln (x + 1) = \ln ({(x - 1)}^{2})$

ステップ 3

方程式を解きます。

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ステップ 3.1

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$x + 1 = {(x - 1)}^{2}$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

${(x - 1)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

書き換えます。

$x + 1 = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$x + 1 = (x - 1) (x - 1)$

ステップ 3.2.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 3.2.1.3.1

分配則を当てはめます。

$x + 1 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

ステップ 3.2.1.3.2

分配則を当てはめます。

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

ステップ 3.2.1.3.3

分配則を当てはめます。

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

ステップ 3.2.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.2.1.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x + 1 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

ステップ 3.2.1.4.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$x + 1 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

ステップ 3.2.1.4.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x + 1 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

ステップ 3.2.1.4.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x + 1 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

ステップ 3.2.1.4.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x + 1 = x^{2} - x - x + 1$

ステップ 3.2.1.4.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$x + 1 = x^{2} - 2 x + 1$

ステップ 3.2.2

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x^{2} - 2 x + 1 = x + 1$

ステップ 3.2.3

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.2.3.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$x^{2} - 2 x + 1 - x = 1$

ステップ 3.2.3.2

$- 2 x$ から $x$ を引きます。

$x^{2} - 3 x + 1 = 1$

ステップ 3.2.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} - 3 x + 1 - 1 = 0$

ステップ 3.2.5

$x^{2} - 3 x + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.2.5.1

$1$ から $1$ を引きます。

$x^{2} - 3 x + 0 = 0$

ステップ 3.2.5.2

$x^{2} - 3 x$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 3.2.6

$x$ を $x^{2} - 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.6.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x - 3 x = 0$

ステップ 3.2.6.2

$x$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

ステップ 3.2.6.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 3$ で因数分解します。

$x (x - 3) = 0$

ステップ 3.2.7

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 3.2.8

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.2.9

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.2.9.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.2.9.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 3.2.10

最終解は $x (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3$

ステップ 4

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ が真にならない解を除外します。

$x = 3$

微分積分学準備 例

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