微分積分学準備例

$\log ({(x)}^{3}) = 6 \log (x)$

ステップ 1

対数の中の $6$ を移動させて $6 \log (x)$ を簡約します。

$\log (x^{3}) = \log (x^{6})$

ステップ 2

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$x^{3} = x^{6}$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $x^{6}$ を引きます。

$x^{3} - x^{6} = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$x^{3}$ を $x^{3} - x^{6}$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.1.1

$1$ を掛けます。

$x^{3} \cdot 1 - x^{6} = 0$

ステップ 3.2.1.2

$x^{3}$ を $- x^{6}$ で因数分解します。

$x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x^{3}) = 0$

ステップ 3.2.1.3

$x^{3}$ を $x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x^{3})$ で因数分解します。

$x^{3} (1 - x^{3}) = 0$

ステップ 3.2.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} (1^{3} - x^{3}) = 0$

ステップ 3.2.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$x^{3} ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 0$

ステップ 3.2.4

因数分解。

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ステップ 3.2.4.1

簡約します。

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ステップ 3.2.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x^{3} ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 0$

ステップ 3.2.4.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$x^{3} ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 0$

ステップ 3.2.4.2

不要な括弧を削除します。

$x^{3} (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{3} = 0$

$1 - x = 0$

$1 + x + x^{2} = 0$

ステップ 3.4

$x^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$x^{3}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 3.4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 3.4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 3.5

$1 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$1 - x$ が $0$ に等しいとします。

$1 - x = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について $1 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = - 1$

ステップ 3.5.2.2

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.5.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 3.6

$1 + x + x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$1 + x + x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$1 + x + x^{2} = 0$

ステップ 3.6.2

$x$ について $1 + x + x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.6.2.2

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3

簡約します。

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ステップ 3.6.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 3.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3.6.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3.7

最終解は $x^{3} (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

微分積分学準備 例

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