微分積分学準備例

$3 \cos (4 x) = 2$

ステップ 1

$3 \cos (4 x) = 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$3 \cos (4 x) = 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 \cos (4 x)}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cos (4 x)}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 1.2.1.2

$\cos (4 x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (4 x) = \frac{2}{3}$

ステップ 2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$4 x = \arccos (\frac{2}{3})$

ステップ 3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\arccos (\frac{2}{3})$ の値を求めます。

$4 x = 0.84106867$

ステップ 4

$4 x = 0.84106867$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$4 x = 0.84106867$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0.84106867}{4}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0.84106867}{4}$

ステップ 4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0.84106867}{4}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0.84106867$ を $4$ で割ります。

$x = 0.21026716$

ステップ 5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$4 x = 2 (3.14159265) - 0.84106867$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

簡約します。

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ステップ 6.1.1

$2$ に $3.14159265$ をかけます。

$4 x = 6.2831853 - 0.84106867$

ステップ 6.1.2

$6.2831853$ から $0.84106867$ を引きます。

$4 x = 5.44211663$

ステップ 6.2

$4 x = 5.44211663$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.1

$4 x = 5.44211663$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{5.44211663}{4}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{5.44211663}{4}$

ステップ 6.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{5.44211663}{4}$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$5.44211663$ を $4$ で割ります。

$x = 1.36052915$

ステップ 7

$\cos (4 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.2

周期の公式の $b$ を $4$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 4 |}$

ステップ 7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$\frac{2 π}{4}$

ステップ 7.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$\frac{2 (π)}{4}$

ステップ 7.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π}{2}$

ステップ 8

$\cos (4 x)$ 関数の周期が $\frac{π}{2}$ なので、両方向で $\frac{π}{2}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.21026716 + \frac{π n}{2}, 1.36052915 + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

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