微分積分学準備例

$3 \sin (x) + 1 = \sin (x)$

ステップ 1

$\sin (x)$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $\sin (x)$ を引きます。

$3 \sin (x) + 1 - \sin (x) = 0$

ステップ 1.2

$3 \sin (x)$ から $\sin (x)$ を引きます。

$2 \sin (x) + 1 = 0$

ステップ 2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 \sin (x) = - 1$

ステップ 3

$2 \sin (x) = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$2 \sin (x) = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 4

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

ステップ 5

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{6}$ です。

$x = - \frac{π}{6}$

ステップ 6

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

ステップ 7

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 7.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

ステップ 7.2

$\frac{7 π}{6}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{6} + π$ と隣接します。

$x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 8

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 8.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 9

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 9.1

$2 π$ を $- \frac{π}{6}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

ステップ 9.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 9.3

分数をまとめます。

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ステップ 9.3.1

$2 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 9.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 9.4

分子を簡約します。

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ステップ 9.4.1

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 π - π}{6}$

ステップ 9.4.2

$12 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{11 π}{6}$

ステップ 9.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{11 π}{6}$

ステップ 10

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

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